Question

17．如圖所示，在E=10³ V/m的水平向左勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一光滑半圓形絕緣軌道CPN豎直放置，軌道與一水平絕緣軌道MN平滑連接，半圓軌道所在豎直平面與電場(chǎng)線平行，其半徑R=40cm，一帶正電荷q=3×10^-4 C的小滑塊質(zhì)量為m=40g，與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所帶電荷量保持不變，取g=10m/s²．滑塊在水平軌道上某點(diǎn)由靜止釋放后，恰好能運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)C，問(wèn)：
（1）小滑塊是在水平軌道上離N點(diǎn)多遠(yuǎn)處釋放的？
（2）小滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后落地，落地點(diǎn)離N點(diǎn)的距離多大？
（3）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軌道的最大壓力有多大？

Answer 1

分析 （1）在小滑塊運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在C點(diǎn)由向心力列式，由剛開始位置到C點(diǎn)由動(dòng)能定理根據(jù)動(dòng)能定理可以求得滑塊與N點(diǎn)之間的距離；
（2）過(guò)C點(diǎn)后，對(duì)滑塊受力分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，豎直方向求出時(shí)間，由牛頓第二定律可以求得滑塊水平方向的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得落地點(diǎn)離N點(diǎn)的距離；
（3）將重力和電場(chǎng)力等效為一個(gè)力，在等效重力場(chǎng)的最低點(diǎn)壓力最大，根據(jù)動(dòng)能定理求出等效重力場(chǎng)的最低點(diǎn)的速度，再由向心力公式求出對(duì)軌道的最大壓力；

解答 解：（1）設(shè)滑塊與N點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，由剛開始位置到C點(diǎn)由動(dòng)能定理可得qEL-μmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-0
代入數(shù)據(jù)：$3×1{0}_{\;}^{-4}×1{0}_{\;}^{3}-0.5×40×1{0}_{\;}^{-3}×10L$$-40×1{0}_{\;}^{-3}×10×2×0.4$=$\frac{1}{2}×40×1{0}_{\;}^{-3}{v}_{\;}^{2}-0$①
小滑塊在C點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，所以mg=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)：$40×1{0}_{\;}^{-3}×10=40×{10}_{\;}^{-3}\frac{{v}_{\;}^{2}}{0.4}$②
聯(lián)立①②解得v=2 m/s，L=4 m
（2）在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，由2R=$\frac{1}{2}$gt²
可得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.4 s
在水平方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，由qE=ma
代入數(shù)據(jù)：$3×1{0}_{\;}^{-4}×1{0}_{\;}^{3}=40×1{0}_{\;}^{-3}a$
得a=7.5 m/s²
水平的位移為x=vt-$\frac{1}{2}$at²，
代入數(shù)據(jù)：$x=2×0.4-\frac{1}{2}×7.5×0．{4}_{\;}^{2}$
得x=0.2 m
（3）重力與電場(chǎng)力的合力F_合=0.5N，F(xiàn)_合方向與CN的夾角為37°，
當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到∠NOA=37°時(shí)速度最大對(duì)軌道壓力最大．
由A到C過(guò)程列動(dòng)能定理：-qERsin37°-mg（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：$-3×1{0}_{\;}^{-4}×1{0}_{\;}^{3}×0.4×0.6$$-40×1{0}_{\;}^{-3}×10×（0.4+0.4×0.8）$=$\frac{1}{2}×40×1{0}_{\;}^{-3}×{2}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}×40×1{0}_{\;}^{-3}{v}_{A}^{2}$
解得：${v}_{A}^{\;}=\sqrt{22}m/s$
滑塊在A點(diǎn)時(shí)，三個(gè)力的合力提供向心力，${F}_{N}^{\;}-{F}_{合}^{\;}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)：${F}_{N}^{\;}-0.5=40×1{0}_{\;}^{-3}×\frac{22}{0.4}$
解得：F_N=2.7N，
根據(jù)牛頓第三定律，軌道壓力F_N′=F_N=2.7N

答：（1）小滑塊是在水平軌道上離N點(diǎn)4m處釋放的
（2）小滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后落地，落地點(diǎn)離N點(diǎn)的距離0.2m
（3）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軌道的最大壓力有2.7N

點(diǎn)評(píng) 本題中涉及到的物體的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程較多，對(duì)于不同的過(guò)程要注意力做功數(shù)值的不同，特別是在離開最高點(diǎn)之后，滑塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析是本題中的難點(diǎn)，一定要學(xué)會(huì)分不同的方向來(lái)分析和處理問(wèn)題．