Question

12．如圖所示，半徑為2R的四分之一圓弧與半徑為R的光滑半圓在B點相連接，C與A點等高，一個質(zhì)量為m的小球從A點由靜止釋放，恰好到達與圓心O等高的D點．求：
（1）摩擦力對小球所做的功是多少？
（2）假設AEB段摩擦力做功不變，小球剛過B點時對軌道的壓力是多少？
（3）假設AEB段摩擦力做功不變，在A點給小球不同的速度，它將始終不脫離軌道運動，并能通過C點做平拋運動，當落點E到C點的豎直距離最大時，求A點的速度v₀是多少？

Answer 1

分析 （1）從A到D有動能定理求的摩擦力做功；
（2）從A到B有動能定理求的到達B點速度，有牛頓第二定律求的作用力；
（3）從C點做平拋運動，求出豎直方向的高度，利用數(shù)學知識即可判斷

解答 解：（1）摩擦力所做的共為W，則有：
mg•2R-W-mgR=0-0
W=-mgR
（2）根據(jù)題意有：
mg$•2R-W=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
由牛頓第二定律有：F-mg=$\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得：F=3mg
有牛頓第三定律可知，對軌道的壓力為3mg
（3）設經(jīng)過C點的速度為v_C
x=v_Ct
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x²+y²=4R²
得：$y=\frac{\sqrt{{v}_{C}^{4}+4{g}^{2}{R}^{2}}{-v}_{C}^{2}}{g}$
可知v_C越小，y越大，最小是剛好能通過C點，
恰能通過C點則有：mg=$\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
$mg•2R-W-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{3gR}$
答：（1）摩擦力對小球所做的功是-mgR
（2）假設AEB段摩擦力做功不變，小球剛過B點時對軌道的壓力是3mg
（3）A點的速度v₀是$\sqrt{3gR}$

點評 本題除了運用動能定理、平拋運動的規(guī)律之外，關鍵根據(jù)這些規(guī)律得到x的表達式，運用數(shù)學知識求極值，是常用的函數(shù)法，要學會運用．