Question

19．如圖所示，光滑固定軌道的左端是半徑為R的四分之一圓弧，右端是半徑為2R的四分之一圓弧，在軌道水平面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球B、C，且B、C間用一長度不變并鎖定的輕彈簧拴接，彈性勢能E_p=$\frac{2}{3}$mgR．一質(zhì)量也為m的小球A從左側(cè)的最高點(diǎn)自由滑下，A滑到水平面與B碰撞后立即粘在一起結(jié)合成D不再分離（碰撞時(shí)間極短）．當(dāng)D、C 一起剛要滑到右側(cè)最低點(diǎn)時(shí)，彈簧鎖定解除，且立即將C彈出并與彈簧分離，求：
（1）彈簧鎖定解除前瞬間D、C一起運(yùn)動的速度大��；
（2）彈簧鎖定解除后，C第一次滑上右側(cè)軌道的最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力大�。?br />（3）彈簧鎖定解除后，若C、D（含彈簧）每次碰撞均在水平面上，求第N次碰撞結(jié)束時(shí)（C與彈簧分離）C、D的速度．

Answer 1

分析 （1）、運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解A球碰撞前的速度，碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律可以求出D、C的速度．
（2）彈簧鎖定解除過程系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可以求出C、D的速度，分離后C運(yùn)動過程機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與平衡條件求出壓力．
（3）對C、D（含彈簧）系統(tǒng)，應(yīng)用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律分析答題．

解答 解：（1）A下滑過程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gR}$，
A、B碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv=3mv₁，
解得：v₁=$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（2）彈簧鎖定解除過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
3mv₁=mv_C+2mv_D，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv₁²+E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$•2mv_D²，
解得：v_C=$\sqrt{2gR}$，v_D=0，（v_C=-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$不合題意，舍去），
C第一次滑上軌道右側(cè)圓弧部分，由機(jī)械能守恒定律得：
mg•2R（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：θ=60°，
小球?qū)�軌道的壓力：F=mgcosθ=$\frac{1}{2}$mg；
（3）系統(tǒng)機(jī)械能：$\frac{1}{2}$mv_C²=mgR，
以左為正方向，C、D（含彈簧）碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，第一次碰撞過程，由動量守恒定律得：
mv_C=mv_C1+2mv_D1，
由機(jī)械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C1²+$\frac{1}{2}$•2mv_D1²，
解得：v_C1=-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，（v_C1=$\sqrt{2gR}$，v_D1=0 不合題意，舍去），
同理，第二次碰撞過程，以向右為正方向：由動量守恒定律得：
-2mv_D1+mv_C1=mv_C2+2mv_D2，
由機(jī)械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C2²+$\frac{1}{2}$•2mv_D2²，
解得：v_C2=-$\sqrt{2gR}$，v_D2=0，（v_C2=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D2=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$ 不合題意，舍去），
綜上所述：當(dāng)N為奇數(shù)：v_C=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向左，
當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：v_C=$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D2=0；
答：（1）彈簧鎖定解除前瞬間D、C一起運(yùn)動的速度大小為$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（2）彈簧鎖定解除后，C第一次滑上右側(cè)軌道的最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力大小�?\frac{1}{2}$mg；
（3）彈簧鎖定解除后，第N次碰撞結(jié)束時(shí)（C與彈簧分離）C、D的速度，當(dāng)N為奇數(shù)：v_C=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向左，
當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：v_C=$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D2=0．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，物體運(yùn)動過程復(fù)雜，難度較大，分析清楚A、B、C的運(yùn)動過程，選擇不同的過程應(yīng)用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，即可正確解題．