Question

4．某質(zhì)量分布均勻的星球表面重力加速度為g′，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度；
（4）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力與萬有引力相等，據(jù)引力常量、重力加速度和星球半徑求星球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)密度公式計算星球的密度；
（3）第一宇宙速度即為繞該星球表面飛行的衛(wèi)星速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力計算第一宇宙速度；
（4）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，由周期表達式根據(jù)半徑大小判定衛(wèi)星的最小周期．

解答 解：（1）在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg′$
可知星球的質(zhì)量M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$
（2）根據(jù)密度公式可知，該星球的密度：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3g′}{4πGR}$
（3）該星球的第一宇宙速度為繞星球表面飛行的衛(wèi)星的速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{g′R}$
（4）繞星球表面運行的衛(wèi)星具有最小的周期，即T=$\frac{2πR}{v}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g′}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{g′{R}^{2}}{G}$；
（2）該星球的密度為$\frac{3g′}{4πGR}$；
（3）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{g′R}$；
（4）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g′}}$．

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由引力提供．