Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．D點(diǎn)位于水桌面最右端，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離為R，P點(diǎn)到桌面右側(cè)邊緣的水平距離為2R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊從D點(diǎn)飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）BD間的水平距離．
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）m₂釋放后在桌面上運(yùn)動的過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

【答案】分析：（1）物塊由D點(diǎn)做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系得出初速度和加速度，進(jìn)而根據(jù)位移-速度公式求出位移；
（2）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)有臨界速度，則mg=，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律即可求出m₂釋放后在桌面上運(yùn)動的過程中克服摩擦力做的功．
解答：解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以v_D做平拋，
落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為 
根據(jù)幾何關(guān)系有：
解得v_D=4m/s
根據(jù)物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，有：
在桌面上過B點(diǎn)后初速v=6m/s，加速度a=-4m/s²
所以BD間位移為 m
（2）設(shè)物塊到達(dá)M點(diǎn)的臨界速度為v_m，有：

v_M==m/s
由機(jī)械能守恒定律得：
 = 
解得：
v′_M=m/s
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所以物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）設(shè)彈簧長為AC時(shí)的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)
且m₁=2m₂，
可得：
m₂釋放后在桌面上運(yùn)動過程中克服摩擦力做功為W_f，
則由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律得：      
可得W_f=5.6J
答：（1）BD間的水平距離為2.5m；
（2）m₂不能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）m₂釋放后在桌面上運(yùn)動的過程中克服摩擦力做的功為5.6J．
點(diǎn)評：該題涉及到多個(gè)運(yùn)動過程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動基本公式、圓周運(yùn)動向心力公式的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)及公式較多，難度較大，屬于難題．