Question

（2013?鹽城三模）如圖所示，在矩形區(qū)域CDNM內(nèi)有沿紙面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=1.5×10⁵N/C；在矩形區(qū)域MNGF內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 B=0.2T．已知CD=MN=FG=0.6m，CM=MF=0.20m．在CD邊中點(diǎn)O處有一放射源，沿紙面向電場(chǎng)中各方向均勻地輻射出速率均v0=1.0×106m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì) m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無(wú)阻礙地通過(guò)邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先經(jīng)電場(chǎng)加速，再進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．先由動(dòng)能定理粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)中的粒子在該方向的位移最大，通過(guò)磁場(chǎng)后打在邊界FG上最左端．垂直于MN射入的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后軌跡恰好與邊界FG相切，切點(diǎn)就是粒子能射出磁場(chǎng)的最右端．畫(huà)出兩種情況下粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡．
先研究粒子在電場(chǎng)中類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)方向的夾角，以及垂直于電場(chǎng)方向的位移．根據(jù)幾何知識(shí)求邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度；
（3）粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．垂直于MN射入的粒子的軌跡與邊界FG相切時(shí)，圓心角最大，時(shí)間最長(zhǎng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓心角，即可求最長(zhǎng)時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
     qEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則有
    qvB=m

v2

r

解得，r=

mv

qB

=0.2m
（2）如圖所示，粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)中的粒子在該方向的位移最大，通過(guò)磁場(chǎng)后打在邊界FG上最左端．設(shè)該粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為θ₁，該粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)
  加速度大小為a=

qE

m

  沿電場(chǎng)方向的位移 y1=

1

2

at2=d
  垂直電場(chǎng)方向的位移  x₁=v₀t=

2 3

15

m
離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)  sinθ₁=

v0

v

=

1

2

，θ₁=30°
因?yàn)?nbsp; x₁+r（1-cos30°）＜0.30m
粒子從S點(diǎn)射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后從邊界FG射出時(shí)的位置P即通過(guò)范圍的左邊界，且PS⊥MN，垂直MN射入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好與邊界FG相切，切點(diǎn)Q是通過(guò)范圍的右邊界．
則帶電粒子從邊界FG射出磁場(chǎng)時(shí)通過(guò)的范圍長(zhǎng)度為  l=x₁+r=

2 3

15

m+0.2m≈0.43m
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期 T=

2πm

qB

=6.28×10^-7s
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中沿O′QR運(yùn)動(dòng)的軌跡最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，
∵sinθ₂=

L 2 -r

r

=

0.3-0.2

0.2

=

1

2

，θ₂=30°
∴帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓心角為120°，對(duì)應(yīng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
   t_max=

1

3

T=

2πm

3qB

=2.09×10^-7s
答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是0.2m；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度是0.43m；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是2.09×10^-7s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律，及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，讓學(xué)生熟練掌握它們的解題思路與方法．注意粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，恰好做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)偏轉(zhuǎn)位移最大，磁場(chǎng)中畫(huà)出軌跡，確定邊界范圍，由幾何知識(shí)求邊界的長(zhǎng)度．