Question

4．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道距離月球表面的高度為月球半徑的2倍．已知航天站在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，某時(shí)刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示與月球相切的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時(shí)間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動(dòng)仍沿原橢圓軌道返回．整個(gè)過程中航天站保持原軌道繞月運(yùn)行．已知月球半徑為R，引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量？
（2）登月器離開月球表面返回航天站需要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式求月球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)開普勒第三定律求出橢圓軌道的周期，然后結(jié)合兩種軌道的特點(diǎn)可知，登月器離開月球表面返回航天站需要半個(gè)周期，由此即可求出．

解答 解：（1）對(duì)航天站，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$\frac{G{M}_{月}m}{（3R）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}•3R}{{T}^{2}}$
由題意知：T=$\frac{t}{T}$
M_月=$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）設(shè)登月器做橢圓運(yùn)動(dòng)的周期為，由開普勒第三定律得：
$\frac{（3R）^{2}}{{T}^{2}}=\frac{（\frac{2R+R}{2}）^{2}}{T{′}^{2}}$
聯(lián)立得：$T′=\frac{2\sqrt{6}}{9n}•t$
登月器離開月球表面返回航天站需要的時(shí)間t=$\frac{T′}{2}=\frac{\sqrt{6}t}{9n}$
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）登月器離開月球表面返回航天站需要的時(shí)間是$\frac{\sqrt{6}t}{9n}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力公式及開普勒第三定律的公式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．