Question

11．如圖所示，原長為L的輕質彈簧一端固定在O點，另一端與質量為m的圓環(huán)相連，圓環(huán)套在粗糙豎直固定桿上的A處，環(huán)與桿間動摩擦因數(shù)μ=0.5，此時彈簧水平且處于原長．讓圓環(huán)從A處由靜止開始下滑，經(jīng)過B處時速度最大，到達C處時速度為零．過程中彈簧始終在彈性限度之內．重力加速度為g．求：
（1）圓環(huán)在A處的加速度為多大？
（2）若AB間距離為$\frac{3}{4}L$，則彈簧的勁度系數(shù)k為多少？
（3）若圓環(huán)到達C處時彈簧彈性勢能為E_p，且AC=h，使圓環(huán)在C處時獲得一個豎直向上的初速度，圓環(huán)恰好能到達A處．則這個初速度應為多大？

Answer 1

分析 （1）圓環(huán)在A處時，合力等于重力，由牛頓第二定律求加速度．
（2）圓環(huán)經(jīng)過B處時速度最大，合力為零，由平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數(shù)k．
（3）分別研究A到C和C到A，由功能關系列式，即可求解．

解答 解：（1）圓環(huán)在A處時，合力等于重力，由牛頓第二定律得
  mg=ma，得 a=g
（2）圓環(huán)經(jīng)過B處時，彈簧的彈力 F=k（$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{3}{4}L）^{2}}$-L）=$\frac{kL}{4}$
設∠OBA=α，則cosα=$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$
速度最大，合力為零，由平衡條件得：
  Fcosα+μFsinα=mg
聯(lián)立解得 k=$\frac{4mg}{L}$
（3）圓環(huán)從A運動到C，由功能關系得
  W_f=E_p-mgh
從C運動到A的過程，由功能關系得
  W_f′=mgh-E_p-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 W_f=W_f′
解得 v₀=2$\sqrt{\frac{mgh-{E}_{p}}{m}}$
答：
（1）圓環(huán)在A處的加速度為g．
（2）若AB間距離為$\frac{3}{4}L$，則彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{4mg}{L}$．
（3）這個初速度應為2$\sqrt{\frac{mgh-{E}_{p}}{m}}$．

點評 本題要能正確分析小球的受力情況和運動情況，對物理過程進行受力、運動、做功分析，是解決問題的根本方法，掌握功能關系的應用．