Question

20．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點，若不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）推力對小球做了多少功？（用題中所給的量：m、g、R及x表示）
（2）x取何值時，完成上述運動所做的功最少？最少功為多少？
（3）x取何值時，完成上述運動所用的力最小？最小力為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當?shù)竭_B點撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后，又正好落回A點．因小球離開C點后做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當小球恰好到達C點時，由重力充當向心力，此時C點的速度最小，力F做功最小．先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，根據(jù)（1）問的結果求出x，即可得到最小功；
（3）根據(jù)功與x的關系式，運用數(shù)學知識求解力最小時x的值及最小的力．

解答 解：（1）質點從半圓弧軌道做平拋運動后又回到A點，設在C點的速度為v_C，
質點從C點運動到A點所用的時間為t，
在水平方向：X=V_C≈•t，在豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²     
解得：v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
對質點從A點到C點由動能定理有：W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²   
解得：W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由W_F=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²可知，
只要質點在C點的速度最小，則W_F就最小，若質點恰好能通過C點，其在C點的最小速度為v，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
即v=$\sqrt{gR}$，而$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$
解得：x=2R時，W_F最小，其最小值為W_F=2.5mgR
（3）由于W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$，而W_F=Fx
所以 F=$\frac{1}{8}mg（\frac{16R}{x}+\frac{x}{R}）$
由此可知：當$\frac{16R}{x}$=$\frac{x}{R}$，即x=4R時，力F最小，其最小值為mg．
答：
（1）推力對小球所做的功是$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$．
（2）x等于2R時，完成上述運動所做的功最少，最小功為2.5mgR．
（3）x取4R時，完成上述運動用力最小，最小力為mg．

點評 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動能定理求解F做功，再運用數(shù)學不等式知識求解極值．