Question

如圖所示，傾角θ=37°的固定斜面AB長L=20m，t₀=0時質(zhì)量為M=1kg的木塊由斜面上的中點C從靜止開始下滑，t₁=0.5s時刻被一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v₀=600m/s、沿斜面向上的速度射入并穿出，穿出時速度u=100m/s．以后每隔△t=1.5s就有一顆子彈射入木塊，設(shè)子彈射穿木塊的時間可忽略不計，且每次射入木塊對子彈的阻力都相同．已知木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）第一顆子彈從木塊中穿出時木塊的速度大小和方向．
（2）共有幾顆子彈可以擊中木塊？（請寫出分析與運算過程）
（3）木塊在斜面上運動的過程中，子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出0.5s末木塊的速度大小和方向，子彈在射出木塊的瞬間，沿斜面方向上動量守恒，結(jié)合動量守恒定律求出第一顆子彈從木塊中穿出時的速度大小和方向．
（2）根據(jù)位移時間公式求出第一次擊中后木塊的位移，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出木塊被子彈第二次擊中時的速度以及向上運動的位移大小，結(jié)合斜面的長度得出有幾顆子彈可以擊中木塊．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出產(chǎn)生的總熱量．

解答：解：（1）木塊開始下滑時，由牛頓第二定律有：
Mgsinθ-μMgcosθ=Ma₁ 
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=4m/s² 
t₁=0.5s末速度大小為：v₁=a₁t₁=2m/s（方向沿斜面向下）  
設(shè)第一顆子彈穿過木塊后瞬間木塊的速度大小為v₁′，以沿斜面向上為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₁′
解得：v₁′=8m/s，方向沿斜面向上
（2）t₁=0.5s時木塊下滑的位移大小為：
s1=

1

2

a1t12=0.5m
第一顆子彈穿過木塊后木塊沿斜面上滑時，對木塊有：
Mgsinθ+μMgcosθ=Ma₂     
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=8m/s²，方向沿斜面向下
得上滑到最高點的時間為：t2=

v1

a2

=1s  
上滑位移大小為：s2=

v1

2

t2=4m   
可知木塊從C處開始運動到被第一顆子彈擊中再上升至最高點的總位移為：
L₁=s₂-s₁=3.5m，方向沿斜面向上．
因為△t-t₂=0.5s，所以第二顆子彈擊中木塊前，木塊上升到最高點P₁后又會向下加速0.5s，下滑距離為s₃=s₁=0.5m，
且被第二顆子彈擊中前瞬間的速度大小為：v₂=v₁=2m/s（方向沿斜面向下），
所以之后過程與第一顆子彈擊中后過程相同，即再次上滑到最高點P₂的位移大小仍為：s₄=s₂=4m，總位移大小仍為：L₂=L₁=3.5m，方向仍沿斜面向下 
由此可知，第二顆子彈擊中木塊后，木塊上升至最高點離斜面B點距離為：BP=BC-（L₁+L₂）=3m．
所以在被第三顆子彈擊中后，木塊到達(dá)B點時速度不為零，可沖出斜面，不會再被子彈擊中，因此全程共有3顆子彈擊中木塊．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的內(nèi)能．兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能為：
Q1=3[(

1

2

mv02+

1

2

Mv12)-(

1

2

mu2-

1

2

Mv12)]．
代入數(shù)據(jù)解得：Q₁=10410J
全過程木塊在斜面上滑行的總路程為：s=BC+6s₁=13 m 
那么木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μMgscosθ=26J
則全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量為：Q=Q₁+Q₂=10436 J
答：（1）第一顆子彈從木塊中穿出時木塊的速度大小為8m/s，方向沿斜面向上．
（2）共有3顆子彈擊中木塊．
（3）子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是10436J．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律和運動學(xué)公式，關(guān)鍵理清運動過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．