Question

14．如圖所示，固定的光滑金屬導軌間距為L，導軌電阻不計，上端a、b間接有阻值為R的電阻，導軌平面與水平面的夾角為θ，且處在磁感應強度大小為B、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中．質量為m、有效阻值為$\frac{R}{2}$導體棒與固定彈簧相連后放在導軌上．初始時刻，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有沿軌道向上的初速度v₀．整個運動過程中導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸．已知彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧的中心軸線與導軌平行．求：
（1）初始時刻通過電阻R的電流I的大小和方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，求此時導體棒的加速度大小a；
（3）若導體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導體棒從開始運動直到停止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）棒向上運動切割磁感線，由E₁=BLv₀求感應電動勢，由歐姆定律求感應電流，根據(jù)右手定則判斷感應電流的方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，棒產(chǎn)生的感應電動勢為E₂=BLv，再由歐姆定律求得感應電流，由F=BIL求出此時棒所受的安培力，根據(jù)牛頓第二定律就可以求出加速度；
（3）導體棒最終靜止時，由胡克定律求出彈簧的被壓縮長度x，對整個過程，運用能量守恒列式，可求出回路產(chǎn)生的總熱量，再串聯(lián)關系求出R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）棒產(chǎn)生的感應電動勢為：E₁=BLv₀
通過R的電流大小為：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R+\frac{R}{2}}$=$\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$
根據(jù)右手定則判斷得知：電流方向為：b→a        　　　　
（2）棒產(chǎn)生的感應電動勢為：E₂=BLv
感應電流為：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{R+\frac{R}{2}}$
棒受到的安培力大小為：$F=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+\frac{1}{2}R}$=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$，方向沿斜面向上，如圖所示．
根據(jù)牛頓第二定律 有：mgsinθ-F=ma
解得：$a=gsinθ-\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$
（3）導體棒最終靜止，：mgsinθ=kx
彈簧的壓縮量為：$x=\frac{mgsinθ}{k}$
設整個過程回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q₀，根據(jù)能量守恒定律，有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgxsinθ={E}_{P}+{Q}_{0}$
解得：${Q}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{（mgsinθ）^{2}}{k}-{E}_{P}$
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：
$Q=\frac{R}{R+\frac{1}{2}R}{Q}_{0}=\frac{2}{3}[\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{（mgsinθ）}^{2}}{k}-{E}_{P}]$
答：（1）初始時刻通過電阻R的電流I的大小為$\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$，方向為b→a；
（2）此時導體棒的加速度大小a為$gsinθ-\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$；
（3）導體棒從開始運動直到停止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{2}{3}[\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{（mgsinθ）}^{2}}{k}-{E}_{P}]$．

點評 本題是導體棒在導軌上滑動的類型，分析、計算安培力和分析能量如何轉化是解題的關鍵，綜合性較強．