Question

如圖，光滑水平面上固定著一對(duì)豎直放置的平行金屬板G和H．在金屬板G右壁固定一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球C，其質(zhì)量為 M_C=0.01kg、帶電量為q=+1×10^-5C．G、H兩板間距離為d=10cm，板H下方開(kāi)有能讓小球C自由通過(guò)的小洞．質(zhì)量分別為M_A=0.01kg和M_B=0.02kg的不帶電絕緣小球A、B用一輕質(zhì)彈簧連接，并用細(xì)線(xiàn)栓連使彈簧處于壓縮狀態(tài)，靜放在H板右側(cè)的光滑水平面上，如圖（a）所示．現(xiàn)將細(xì)線(xiàn)燒斷，小球A、B在彈簧作用下做來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)（A球不會(huì)進(jìn)入G、H兩板間）．以向右為速度的正方向，從燒斷細(xì)線(xiàn)斷開(kāi)后的某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，得到A球的速度-時(shí)間圖象如圖（b）所示．

（1）求在t=0、

T

4

、

3T

4

時(shí)刻小球B的速度，并在圖（b）中大致畫(huà)出B球的速度-時(shí)間圖象；
（2）若G、H板間是電場(chǎng)強(qiáng)度為E=8×10⁴V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在某時(shí)刻將小球C釋放，則小球C離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度為多大？若小球C以離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，它將遇到小球A，并與之結(jié)合在一起運(yùn)動(dòng)，試求彈簧的最大彈性勢(shì)能的范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于小球A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)燒斷細(xì)線(xiàn)后動(dòng)量守恒，根據(jù)A球的速度-時(shí)間圖象得出B球的速度-時(shí)間圖象
（2）當(dāng)金屬板間加有勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)小球做功，小球獲得初動(dòng)能并離開(kāi)金屬板，根據(jù)動(dòng)能定理列出等式，水平方向A、B、C三小球系統(tǒng)不受外力，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)三球速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，根據(jù)能量守恒求解．

解答：解：（1）對(duì)于小球A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)燒斷細(xì)線(xiàn)后動(dòng)量守恒，有M_Av_A+M_Bv_B=0
vB=-

MAvA

MB

=-

0.01

0.02

vA=-

1

2

vA
當(dāng)t=0時(shí)，有 vB1=-

1

2

vA=-

1

2

×0=0
當(dāng)t=

T

4

時(shí)，有 v_B2=-

1

2

vA=-

1

2

×4m/s=-2m/s                 
當(dāng)t=

3T

4

時(shí)，有 vB3=-

1

2

vA=-

1

2

×(-4)m/s=2m/s
小球B的速度-時(shí)間圖象如圖所示．                       
（2）當(dāng)金屬板間加有勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)小球做功，小球獲得初動(dòng)能并離開(kāi)金屬板．
由動(dòng)能定理，有  qEd=

1

2

MC

v

2 C

得     vC=

2qEd MC

=4m/s                                         
因水平方向A、B、C三小球系統(tǒng)不受外力，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
由此可得，不論A、C兩球何時(shí)何處相碰，三球的共同速度是一個(gè)定值，
即三球速度相同時(shí)的總動(dòng)能是一定值．
由M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共，
解得v_共=1m/s
當(dāng)三球速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大．
當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度為4m/s且與C球同向時(shí)，跟C球相碰，系統(tǒng)損失能量最�。�為0），此情況下三球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧具有的最大彈性勢(shì)能設(shè)為E₁      
   E₁=

1

2

MAv

2 A

+

1

2

MBv

2 B

+

1

2

MCv

2 C

-

1

2

(MA+MB+MC)

v

2 共

=0.18J
當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度為4m/s與C球反向時(shí)，跟C球相碰，系統(tǒng)損失能量最大，此情況下三球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中彈簧具有的最大彈性勢(shì)能設(shè)為E₂
由M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v₃，解得v₃=0                      
E₂=

1

2

（M_A+M_C）v₃²+

1

2

M_Bv_B²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.02J      
由上可得：彈簧具有的最大彈性勢(shì)能的可能值在0.02J～0.18J的范圍內(nèi)．
答：（1）在t=0、

T

4

、

3T

4

時(shí)刻小球B的速度分別是0，-2m/s，2m/s．
B球的速度-時(shí)間圖象如圖；
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能的范圍是0.02J～0.18J．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了系統(tǒng)動(dòng)量守恒和能量守恒的應(yīng)用，要分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，難度較大．