Question

18．圖示為戲水滑梯的模型圖，它由兩個(gè)半徑均為R=0.5m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道連接而成．O₁，O₂分別是這兩段圓弧軌道的圓心，A處的切線豎直，O₂CD在同一條水平線上，CD是水池的水面．在B處有可視為質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)小球1和2，兩小球間夾有一個(gè)極短的輕彈簧，當(dāng)彈簧中儲(chǔ)存了90J的彈性勢(shì)能時(shí)將彈簧鎖定．已知：m₁=4kg，m₂=1kg，g=10m/s²，某時(shí)刻解除彈簧的鎖定．問：
（1）彈簧將兩小球彈開的瞬間，它們的速度各多大？
（2）彈簧將兩小球彈開的瞬間，小球1對(duì)軌道的壓力多大？
（3）兩個(gè)小球最終落入水池中時(shí)它們之間的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)兩小球碰撞過程由動(dòng)量守恒定律及功能守恒定律可求得兩球的速度；
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式可求得支持力，再由牛頓第三定律可求得小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）由向心力公式可求得小球的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得兩小球落入水池時(shí)的距離．

解答 解：（1）由于兩小球可視為質(zhì)點(diǎn)，且彈簧極短，可認(rèn)為兩小球與彈簧組成的系統(tǒng)位于圓周的最低點(diǎn)B，且該處的切線是水平的，彈簧與兩小球組成的系統(tǒng)合外力為零，滿足：設(shè)向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₁+mv₂=0
由功能關(guān)系可得：
${E_p}=\frac{1}{2}{m_2}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$
解得：v₁=3m/s方向向左，v₂=-12m/s方向向右 
（2）小球1向左沿圓周做圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)B滿足：$N-{m_1}g={m_1}\frac{v_1^2}{R}$
解得小球1受到的軌道支持力N=112N
由牛頓第三定律可知，小球1對(duì)軌道的壓力N′=112N
（3）在最低點(diǎn)B，小球直接飛出的條件：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5}m/s$
小球1最后由圓軌道AB返回，小球2向右運(yùn)動(dòng)，無論是小球1還是小球2，其速度都大于$v=\sqrt{5}m/s$，兩小球直接飛離B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，滿足：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
s=（v₂-v₁）t
解得兩小球落入水池時(shí)它們間的距離為：s=2.8m
答：（1）彈簧將兩小球彈開的瞬間，它們的速度各為3m/s和-12m/s；
（2）彈簧將兩小球彈開的瞬間，小球1對(duì)軌道的壓力為112N；
（3）兩個(gè)小球最終落入水池中時(shí)它們之間的距離為2.8M

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意分析物理過程，注意圓周運(yùn)動(dòng)中向心力公式的應(yīng)用及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的應(yīng)用．