Question

9．如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)在半徑為R的粗糙大圓環(huán)上，θ角已知，大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度ω繞其上一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，小環(huán)相對(duì)大圓環(huán)靜止．試求：
（1）在水平面內(nèi)小環(huán)所受大圓環(huán)的作用力．
（2）如果小環(huán)與大圓環(huán)間的靜摩擦因數(shù)為μ，要保持相對(duì)靜止，小環(huán)在大圓環(huán)上的位置應(yīng)在哪一范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出小圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)合力通過向心力，結(jié)合合力的大小以及轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的大小求出小環(huán)所受大圓環(huán)的作用力．
（2）小環(huán)與大圓環(huán)間的靜摩擦因數(shù)為μ，小環(huán)在大圓環(huán)上恰好要滑動(dòng)時(shí)，結(jié)合臨界條件與牛頓第二定律即可求出位置

解答 解：（1）在以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系xoy中，小環(huán)除重力和與重力平衡的力外，受3個(gè)力的作用：大圓環(huán)彈力${F}_{N}^{\;}$和靜摩擦力${F}_{f}^{\;}$慣性離心力${f}_{慣離}^{\;}$，此3力的合力為零
${F}_{N}^{\;}={f}_{慣離}^{\;}cosφ$，
${F}_{f}^{\;}={f}_{慣離}^{\;}sinφ$
由于φ=$\frac{θ}{2}$，r=2Rcosφ
所以${F}_{N}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ）$，${F}_{f}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ$
所以小環(huán)所受大圓環(huán)的作用力$F=\sqrt{{F}_{N}^{2}+{F}_{f}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$
（2）${F}_{f}^{\;}$的最大值${F}_{fm}^{\;}=μ{F}_{N}^{\;}$，對(duì)應(yīng)的θ最大值為θ′
$m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ′=μm{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ′）$
所以θ′=2arctanμ
小環(huán)位置在與x軸夾角為+θ′和-θ′之間的范圍內(nèi)
答：（1）在水平面內(nèi)小環(huán)所受大圓環(huán)的作用力為$m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$．
（2）如果小環(huán)與大圓環(huán)間的靜摩擦因數(shù)為μ，要保持相對(duì)靜止，小環(huán)在大圓環(huán)上的位置小環(huán)位置在與x軸夾角為+θ′和-θ′之間的范圍內(nèi)（其中θ′=2arctanμ）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是分析小圓環(huán)的受力情況，畫好受力分析圖，有一定難度．