Question

（2010?浙江）在一次國(guó)際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為滑μ的道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中．設(shè)滑道的水平距離為L(zhǎng)，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)節(jié)（取g=10m/s²）．求：
（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系；
（2）運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大？對(duì)應(yīng)的最大水平距離S_max為多少？
（3）若圖中H=4m，L=5m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，則水平運(yùn)動(dòng)距離要達(dá)到7m，h值應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：清楚運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可運(yùn)用動(dòng)能定理研究A到B得過(guò)程把運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)．
求s的最大值，方法是把這個(gè)s先通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)（可以配方）求極值．

解答：解析：
（1）設(shè)AB與水平面夾角為θ
A運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程，摩擦阻力做功為 μmgcosθ

L

cosθ

=μmgL
由A運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：
mg（H-h）-μmgL=

1

2

mv_B²-0?v_B=

2g(H-h-μL)

（2）離開(kāi)B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)
豎直方向：h=

1

2

gt²?t=

2h g

．
水平方向：x=v_Bt 
解得：x=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

　
當(dāng)h=

H-μL

2

時(shí)，x有最大值，x_max=H-μL
∴對(duì)應(yīng)的最大水平距離S_max=H-μL+L．
（3）把數(shù)據(jù)代入x=2

(H-μL-h)h

x=2

(4-0.2×5-h)h

=7-5=2m
?h²-3h+1=0，
解得：h₁=

3+ 5

2

=2.62m     h₂=

3- 5

2

=0.38m．
答：（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系是v_B=

2g(H-h-μL)

；
（2）當(dāng)h=-

H-μL

2×(-1)

時(shí)，x有最大值，S_max=H-μL
（3）h的值有：h₁=

3+ 5

2

=2.62m，h₂=

3- 5

2

=0.38m．

點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)中也可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，哪個(gè)簡(jiǎn)便你可以去嘗試比較．
求一個(gè)物理量的極值，常見(jiàn)的方法是把這個(gè)物理量先表示出來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)（可以配方）求極值．