Question

3．如圖所示，在直角坐標(biāo)系XOY的第二象限內(nèi)，存在水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E₀，M（-L，L）H和N（一L，0）兩點(diǎn)的連線上有一個(gè)產(chǎn)生粒子的發(fā)生器裝置，產(chǎn)生質(zhì)量均為m，電荷量均為q的初速度為零的帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子之間的相互作用，且整個(gè)裝置處于真空中；在第一象限中，存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E₀，圓形空間內(nèi)沒有電場，圓的直徑為L，與X軸相切A點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（L，0），在第四象限內(nèi)距離x軸$\frac{\sqrt{3}}{3}$L的位置有一個(gè)平行于X軸拉為$\frac{4}{3}$L的熒光屏PQ，
（1）若從MN上某點(diǎn)釋放的粒子經(jīng)過電場后恰經(jīng)過A點(diǎn)，求該粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間；
（2）撤去第一象限的電場，在圓形空間中加上磁場B，從MN上的中點(diǎn)釋放的粒子，也恰能經(jīng)過A點(diǎn)，求所加磁場的大小及方向，并求粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，求MN上釋放的所有能打到熒光屏上的粒子的縱坐標(biāo)范圍．

Answer 1

分析 （1）不管粒子從何處發(fā)射，粒子在水平方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到第一象限再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子到第一象限的末速度和時(shí)間，在第一象限水平方向的位移除以速度，得到在第一象限的時(shí)間，兩者相加求出該粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間．
（2）粒子在第二象限做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到第一象限先做位移為L/2的勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后做半徑的R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，分別求出每一段的時(shí)間相加，就得到粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)所用的時(shí)間．
（3）從MN上發(fā)生器產(chǎn)生的粒子經(jīng)第二象限電場加速后具有相同的速度，水平進(jìn)入圓形磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同為L/2，可以證明：所有粒子均從A點(diǎn)穿出磁場，再根據(jù)最低坐標(biāo)處發(fā)生器發(fā)出的粒子打在Q點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出其偏向角，找到最小縱坐標(biāo)，同理也可以找到最高點(diǎn)縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在第二象限的電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：$a=\frac{q{E}_{0}}{m}$  
進(jìn)入第一象限的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2aL}$=$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}$ 
時(shí)間為：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
在第一象限水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$
該粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為：$t=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
（2）撤去第一象限的電場，在圓形空間中加上磁場B，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為：R=$\frac{L}{2}$ 
洛侖茲力提供向心力為：$qB{v}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
所以磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{qL}}$  方向垂直紙面向外．
粒子在第二象限的電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
時(shí)間為：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
離開電場示進(jìn)入磁場時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$ 
  在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)間${t}_{5}=\frac{T}{4}=\frac{π}{8}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$  或$\frac{π}{4}\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$      
  粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為上述三段時(shí)間之和：$t=（\frac{5}{4}+\frac{π}{8}）\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
（3）從MN上釋放的所有粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑R均為$\frac{L}{2}$，并都能通過A點(diǎn)，如圖
  所示，能打到熒光屏上的最低縱坐標(biāo)粒子應(yīng)剛過Q點(diǎn)，其速度偏向角等于圓心角等
  于60°，最高縱坐標(biāo)粒子應(yīng)剛過P點(diǎn)，其速度偏向角等于圓心角150°，由幾何關(guān)系可知在M板
  上出發(fā)的粒子其縱坐標(biāo)范圍為  $\frac{L}{4}≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{4}L$  的均能落在PQ板上．
答：（1）若從MN上某點(diǎn)釋放的粒子經(jīng)過電場后恰經(jīng)過A點(diǎn)，該粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$．
（2）撤去第一象限的電場，在圓形空間中加上磁場B，從MN上的中點(diǎn)釋放的粒子，也恰能經(jīng)過A點(diǎn)，則所加磁場的大小為$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{qL}}$，方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲猓�粒子從釋放到運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)所用的時(shí)間為$（\frac{5}{4}+\frac{π}{8}）\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$．
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，從MN上釋放的所有能打到熒光屏上的粒子的縱坐標(biāo)范圍是：$\frac{L}{4}≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{4}L$．

點(diǎn)評 本題的靚點(diǎn)在于第三問，涉及兩個(gè)等圓相交有其特殊性：①由幾何關(guān)系知道，兩圓心和兩交點(diǎn)構(gòu)成菱形（因?yàn)樗倪吘鶠長/2）；②從MN上由第二象限電場加速的粒子具有相同的速度進(jìn)入圓形磁場，由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心均在入射點(diǎn)的正下方，則所有粒子做半徑相同的圓周運(yùn)動(dòng)后均通過A點(diǎn)射出圓形磁場區(qū)域．抓住這一關(guān)鍵點(diǎn)，求出偏向角，從而求出最小和最大縱坐標(biāo)．