Question

7．如圖所示，在一二象限內-R≤x≤R范圍內有豎直向下的勻強電場E，電場的上邊界方程為y=$\frac{1}{2R}$x²．在三四象限內存在垂直于紙面向里、邊界方程為x²+y²=R²的勻強磁場．現(xiàn)在第二象限中電場的上邊界有許多質量為m，電量為q的正離子，在y=$\frac{1}{2}$R處有一熒光屏，當正離子達到熒光屏時會發(fā)光，不計重力和離子間相互作用力．
（1）求在x（-R≤x≤R）處釋放的離子進入磁場時速度．
（2）若僅讓橫坐標x=-$\frac{R}{3}$的離子釋放，它在磁場中偏轉后恰好能直接經過點（R，0），求從釋放到經過點（R，0）所需時間t．
（3）若同時將離子由靜止釋放，釋放后一段時間發(fā)現(xiàn)熒光屏上只有一點持續(xù)發(fā)出熒光．求熒光屏上該點坐標和磁感應強度B₁．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出粒子經電場加速度后獲得的速度，即進入磁場時速度．
（2）先由第一問的結論求出x=-$\frac{R}{3}$處的離子釋放后獲得的速度，然后運動學公式和牛頓第二定律求出從釋放到經過點（R，0）所需時間t．
（3）所有離子都經過的點為持續(xù)發(fā)出熒光的點，由幾何知識確定半徑，由牛頓第二定律求磁感應強度．

解答 解：（1）于x處釋放離子，由動能定理得：Eq$\frac{1}{2R}$x²=$\frac{1}{2}$mv²          
得離子進入磁場時的速度為：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|
（2）由（1）得在x=-$\frac{R}{3}$ 處釋放的離子到達x軸時速度為：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$•$\frac{R}{3}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{EqR}{m}}$                                   
從釋放到到達x軸時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{\frac{1}{3}\sqrt{\frac{EqR}{m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 
a）第一種情況：離子直接從x=-$\frac{R}{3}$經磁場達x=R 處．
在磁場中經歷半圓時間為：t₂=$\frac{s}{v}$=$\frac{\frac{π}{2}（R+\frac{R}{3}）}{v}$=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$        
總時間為：T₁=t₁+t₂=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
b）第二種情況：離子直接從x=-$\frac{R}{3}$經磁場達x=$\frac{R}{3}$處進入電場返回磁場再到x=R處
易得在磁場中時間仍然為：t₂=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                       
在電場中時間為：3t₁=$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
總時間為：T₂=3t₁+t₂=（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                         
（3）在磁場B中有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                                     
所以運動半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$|x|
可以看出，B一定時，必有r∝|x|，當|x|→0時，r→0 （離子經磁場偏轉從逼近原點出磁場）因此，所有離子都從原點（0，0）點出磁場，擊中熒光屏上（0，$\frac{1}{2}$R）
則有：2r=x
因為qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    
所以有：B₁=$\frac{mv}{qr}$=2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$              
答：（1）在x（-R≤x≤R）處釋放的離子進入磁場時速度v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|．
（2）若僅讓橫坐標x=-$\frac{R}{3}$的離子釋放，它最后能經過點（R，0），從釋放到經過點（R，0）所需時間t=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 或（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$．
（3）若同時將離子由靜止釋放，釋放后一段時間發(fā)現(xiàn)熒光屏上只有一點持續(xù)發(fā)出熒光．該點坐標為（0，$\frac{1}{2}$R）磁感應強度B₁為2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．

點評 本題中電場的區(qū)域邊界是數學解析式的表達方式，設計新穎，學習中應該注意數學思想在物理中的應用．