Question

7．如圖所示，在一二象限內(nèi)-R≤x≤R范圍內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，電場(chǎng)的上邊界方程為y=$\frac{1}{2R}$x²．在三四象限內(nèi)存在垂直于紙面向里、邊界方程為x²+y²=R²的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)在第二象限中電場(chǎng)的上邊界有許多質(zhì)量為m，電量為q的正離子，在y=$\frac{1}{2}$R處有一熒光屏，當(dāng)正離子達(dá)到熒光屏?xí)r會(huì)發(fā)光，不計(jì)重力和離子間相互作用力．
（1）求在x（-R≤x≤R）處釋放的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度．
（2）若僅讓橫坐標(biāo)x=-$\frac{R}{3}$的離子釋放，它在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后恰好能直接經(jīng)過點(diǎn)（R，0），求從釋放到經(jīng)過點(diǎn)（R，0）所需時(shí)間t．
（3）若同時(shí)將離子由靜止釋放，釋放后一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)熒光屏上只有一點(diǎn)持續(xù)發(fā)出熒光．求熒光屏上該點(diǎn)坐標(biāo)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子經(jīng)電場(chǎng)加速度后獲得的速度，即進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度．
（2）先由第一問的結(jié)論求出x=-$\frac{R}{3}$處的離子釋放后獲得的速度，然后運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出從釋放到經(jīng)過點(diǎn)（R，0）所需時(shí)間t．
（3）所有離子都經(jīng)過的點(diǎn)為持續(xù)發(fā)出熒光的點(diǎn)，由幾何知識(shí)確定半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）于x處釋放離子，由動(dòng)能定理得：Eq$\frac{1}{2R}$x²=$\frac{1}{2}$mv²          
得離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|
（2）由（1）得在x=-$\frac{R}{3}$ 處釋放的離子到達(dá)x軸時(shí)速度為：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$•$\frac{R}{3}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{EqR}{m}}$                                   
從釋放到到達(dá)x軸時(shí)間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{\frac{1}{3}\sqrt{\frac{EqR}{m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 
a）第一種情況：離子直接從x=-$\frac{R}{3}$經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)x=R 處．
在磁場(chǎng)中經(jīng)歷半圓時(shí)間為：t₂=$\frac{s}{v}$=$\frac{\frac{π}{2}（R+\frac{R}{3}）}{v}$=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$        
總時(shí)間為：T₁=t₁+t₂=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
b）第二種情況：離子直接從x=-$\frac{R}{3}$經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)x=$\frac{R}{3}$處進(jìn)入電場(chǎng)返回磁場(chǎng)再到x=R處
易得在磁場(chǎng)中時(shí)間仍然為：t₂=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                       
在電場(chǎng)中時(shí)間為：3t₁=$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
總時(shí)間為：T₂=3t₁+t₂=（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                         
（3）在磁場(chǎng)B中有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                                     
所以運(yùn)動(dòng)半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$|x|
可以看出，B一定時(shí)，必有r∝|x|，當(dāng)|x|→0時(shí)，r→0 （離子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)從逼近原點(diǎn)出磁場(chǎng)）因此，所有離子都從原點(diǎn)（0，0）點(diǎn)出磁場(chǎng)，擊中熒光屏上（0，$\frac{1}{2}$R）
則有：2r=x
因?yàn)閝vB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    
所以有：B₁=$\frac{mv}{qr}$=2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$              
答：（1）在x（-R≤x≤R）處釋放的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|．
（2）若僅讓橫坐標(biāo)x=-$\frac{R}{3}$的離子釋放，它最后能經(jīng)過點(diǎn)（R，0），從釋放到經(jīng)過點(diǎn)（R，0）所需時(shí)間t=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 或（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$．
（3）若同時(shí)將離子由靜止釋放，釋放后一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)熒光屏上只有一點(diǎn)持續(xù)發(fā)出熒光．該點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$R）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中電場(chǎng)的區(qū)域邊界是數(shù)學(xué)解析式的表達(dá)方式，設(shè)計(jì)新穎，學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想在物理中的應(yīng)用．