Question

5．如圖所示，無限長金屬導軌EF、PQ固定在傾角為θ=37°的光滑絕緣斜面上，軌道間距L=1m，底部接入一阻值為R=0.06Ω的定值電阻，上端開口．垂直斜面向上的勻強磁場的磁感應強度B_o=2T．一質(zhì)量為m=2kg的金屬棒ab與導軌接觸良好，ab與導軌間動摩擦因數(shù)μ=0.5，ab連入導軌間的電阻r=0.04Ω，電路中其余電阻不計．現(xiàn)用一質(zhì)量為M=6kg的物體通過一不可伸長的輕質(zhì)細繩繞過光滑的定滑輪與ab相連．開始時ab桿位于EP處，由靜止釋放M，當M下落高度h=2.0m時，ab開始勻速運動（運動中ab始終垂直導軌，并接觸良好）．不計空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）ab棒沿斜面向上運動的最大速度v_m；
（2）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時的時刻記作t=0，從此時刻起，磁感應強度發(fā)生變化，使金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應電流，則B與t應滿足怎樣的關系式？

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運動，隨著速度增大，產(chǎn)生的感應電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當加速度為零時做勻速運動，速度達到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律推導出安培力與速度的關系式，結合平衡條件求解最大速度v_m．
（2）在ab棒從開始運動到勻速運動的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉化為系統(tǒng)增加的動能、焦耳熱和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應電流時，不受安培力，ab桿和M均做勻加速運動，此時abPE回路的磁通量不變，由此列式求解．

解答 解：（1）由題意知，由靜止釋放M后，ab棒在繩拉力T、重力mg、安培力F和軌道支持力N及摩擦力f共同作用下做沿軌道向上做加速度逐漸減小的加速運動直至勻速運動，勻速運動達到最大速度，由平衡條件有：
  T-mgsinθ-F-f=0…①
  N-mgcosθ=0…②
  T=Mg…③
又由摩擦力公式得  f=μN…④
ab所受的安培力  F=B₀IL…⑤
回路中感應電流 I=$\frac{{B}_{0}L{v}_{m}}{R+r}$…⑥
聯(lián)解①②③④⑤⑥并代入數(shù)據(jù)解得：
最大速度 v_m=1m/s…⑦
（2）由能量守恒定律知，系統(tǒng)的總能量守恒，即系統(tǒng)減少的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動能、焦耳熱及摩擦而轉化的內(nèi)能之和，有：
  Mgh-mghsinθ=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{m}^{2}$+Q+fh…⑧
電阻R產(chǎn)生的焦耳熱  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q…⑨
根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律有：
 聯(lián)解⑧⑨并代入數(shù)據(jù)得：Q_R=45.6J
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應電流時，不受安培力，ab桿和M均做勻加速運動，設加速度大小為a．
根據(jù)牛頓第二定律得 Mg-mgsinθ-μmgcosθ=（M+m）a  …（10）
解得 a=5m/s²．
abPE回路的磁通量不變，則有 B₀Lh=BL（h+v_mt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$） …（11）
解得 B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$ T
答：（1）ab棒沿斜面向上運動的最大速度v_m是1m/s．
（2）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是45.6J．
（3）B與t應滿足的關系式是B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$T．

點評 本題有兩個關鍵：一是推導安培力與速度的關系；二是推導感應電荷量q的表達式，對于它們的結果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應的問題．