Question

某同學(xué)用一個(gè)光滑的半圓形軌道和若干個(gè)大小相等、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球做了三個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，軌道固定在豎直平面內(nèi)，且兩端同高。第一次，他將一個(gè)小球從離軌道最低點(diǎn)的豎直高度h處由靜止沿軌道下滑（h遠(yuǎn)小于軌道半徑），用秒表測(cè)得小球在軌道底部做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期為T；第二次，他將小球A放在軌道的最低點(diǎn)，使另一個(gè)小球B從軌道最高點(diǎn)由靜止沿軌道滑下并與底部的小球碰撞，結(jié)果小球B返回到原來高度的1/4，小球A也上滑到同樣的高度；第三次，用三個(gè)質(zhì)量之比為m₁:m₂:m₃＝5:3:2的小球做實(shí)驗(yàn)，如圖所示，先將球m₂和m₃放在軌道的最低點(diǎn)，球m₁從某一高度由靜止沿軌道下滑，它們碰后上升的最大高度分別為h₁、h₂和h₃，不考慮之后的碰撞。設(shè)實(shí)驗(yàn)中小球間的碰撞均無能量損失。重力加速度為g。求：
（1）半圓形軌道的半徑R；
（2）第二次實(shí)驗(yàn)中兩小球的質(zhì)量之比m_A:m_B；
（3）第三次實(shí)驗(yàn)中三個(gè)小球上升的最大高度之比h₁:h₂:h₃。

Answer 1

解：（1）第一次實(shí)驗(yàn)中，小球的運(yùn)動(dòng)可以看做擺長為R的單擺，根據(jù)單擺周期公式有：

所以
（2）第二次實(shí)驗(yàn)中，球B從高為R處釋放，設(shè)球B與球A碰撞前瞬間的速度大小為v_B，碰撞后瞬間它們速度的大小分別為v_B'和v_A。由題意知，球B與A碰后達(dá)到的高度均為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有



所以；
又根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
所以
（3）根據(jù)題意設(shè)球1、2、3的質(zhì)量分別為5m、3m和2m。設(shè)球1與球2碰撞前后的速度分別為v₁、v₁'，球2與球3碰撞前后的速度分別為v₂、v₂'，球3與球2碰撞后的速度為v₃。球1與球2碰撞過程中動(dòng)量守恒，且機(jī)械能守恒，則有
      
解得
球2與球3碰撞過程中動(dòng)量守恒，且機(jī)械能守恒，則有

解得
在三個(gè)小球的上升過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
     
解得