Question

如圖所示，兩足夠長平行光滑的固定金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α，導(dǎo)軌上端跨接一定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．整個裝置處于勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于軌道平面向上，長為L的金屬棒cd垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌保持良好接觸，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為r，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒從緊靠NQ處由靜止釋放，當(dāng)金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s時，速度達(dá)到最大值v_m．求：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）若將金屬棒下滑s的時刻記作t=0，假設(shè)此時磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請推導(dǎo)這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時間t的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)棒子開始運(yùn)動時，又會受到水平向右的安培力，棒子做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，當(dāng)加速度減小到0時，速度達(dá)到最大．根據(jù)最終達(dá)到平衡，列出平衡方程，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，重力勢能減小，動能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒先求出整個電路產(chǎn)生的熱量，再求出電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量應(yīng)不變，根據(jù)t時刻的磁通量與t=0時刻的磁通量相等，此時棒不受安培力，做勻加速運(yùn)動，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式列式求解．

解答：解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，則金屬棒達(dá)到最大速度時
產(chǎn)生的電動勢 E=BLv_m…①
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流 I=

E

R+r

…②
金屬棒棒所受安培力 F=BIL…③
cd棒所受合外力為零時，下滑的速度達(dá)到最大，則
 F=mgsinα…④
由①②③④式解得：
  B=

1

L

mg(R+r)sinα vm

（2）設(shè)電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q，整個電路產(chǎn)生的電熱為Q_總，則
  mgs?sinα=

1

2

m

v

2 m

+Q_總…⑤
又根據(jù)電路的連接關(guān)系得：
  Q=

R

R+r

Q總…⑥
由⑤⑥式解得：Q=

R

R+r

（mgs?sinα-

1

2

m

v

2 m

）．
（3）金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流時不受安培力，做勻加速運(yùn)動，設(shè)金屬棒的加速度大小為a．
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsinα=ma
得：a=gsinα
回路中磁通量應(yīng)不變，則有：
B₀Ls=BL（s+v_mt+

1

2

at2）
故：B=

B0s

s+vmt+ 1 2 gt2?sinα

答：（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是

1

L

mg(R+r)sinα vm

；
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量是

R

R+r

（mgs?sinα-

1

2

m

v

2 m

）；
（3）從此時刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請推導(dǎo)這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時間t的關(guān)系式為B=

B0s

s+vmt+ 1 2 gt2?sinα

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵會根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動情況，當(dāng)a=0時，速度達(dá)到最大．掌握不產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件：磁通量不變．