Question

13．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)OP與x軸正向的夾角θ=30°，在OP上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，其左邊界為y軸、右邊界與直線(xiàn)OP重疊；第四象限存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿與x軸負(fù)方向成ϕ=60⁰的角斜向下．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+e的質(zhì)子以速度v₀從O點(diǎn)沿y軸正方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．質(zhì)子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b點(diǎn)穿過(guò)x軸進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，之后通過(guò)了b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)（圖中沒(méi)有畫(huà)出）．不計(jì)質(zhì)子的重力．求：
（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）質(zhì)子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；
（2）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；射出磁場(chǎng)后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)t=$\frac{s}{v}$求解時(shí)間；最后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解時(shí)間；最后求和即可．

解答 解：（1）質(zhì)子先在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示：
根據(jù)牛頓第二定律，有：$Be{v_0}=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$…①，
解得：$R=\frac{{m{v_0}}}{eB}$；
（2）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{eB}$…②，
由幾何關(guān)系可知，質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：$π-2θ=\frac{2}{3}π$…③，
質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t_1}=\frac{π-2θ}{2π}T$=$\frac{2πm}{3eB}$…④，
質(zhì)子在無(wú)場(chǎng)區(qū)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程  $ab=\frac{R}{tanθ}=\sqrt{3}R$…⑤，
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間   ${t_2}=\frac{ab}{v_0}=\frac{{\sqrt{3}m}}{eB}$…⑥，
由幾何關(guān)系可知，質(zhì)子垂直電場(chǎng)線(xiàn)進(jìn)入電場(chǎng)，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．
垂直電場(chǎng)方向：ssinθ=v₀t₃…⑦，
平行電場(chǎng)方向：$scosθ=\frac{1}{2}at_3^2$…⑧，
由牛頓第二定律    eE=ma…⑨，
解得：${t_3}=\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{eE}$…⑩，
所以質(zhì)子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πm}{3eB}+\frac{{\sqrt{3}m}}{eB}+\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{eE}$；
答：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{m{v}_{0}}{eB}$．
（2）質(zhì)子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{2πm}{3eB}+\frac{\sqrt{3}m}{eB}+\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{eE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵是分勻速圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)三個(gè)過(guò)程，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析；
帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)的邊界時(shí)，如果邊界是直線(xiàn)，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性得到帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場(chǎng)的問(wèn)題常常用到．