Question

18．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第一、四象限區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)：垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，O、M、P、Q為磁場(chǎng)邊界和x軸的交點(diǎn)，OM=MP=L．在第三象限存在沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m帶電量為+q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)為（-4L，-2L）的點(diǎn)以速度v₀沿+x方向射出，恰好經(jīng)過原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域Ⅰ又從M點(diǎn)射出區(qū)域Ⅰ（粒子的重力忽略不計(jì)）．
（1）求第三象限勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（2）求區(qū)域Ⅰ內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）如帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，問區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的寬度至少為多少？粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由題意，粒子經(jīng)過原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域I又從M點(diǎn)射出區(qū)域I，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）當(dāng)帶電粒子恰好能再次回到原點(diǎn)O，在磁場(chǎng)Ⅱ中軌跡恰好與其右邊界相切，畫出軌跡，由幾何關(guān)系即可求出磁場(chǎng)的寬度．分段求出時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．
水平方向：4L=v₀t
豎直方向：2L=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\frac{4L}{{v}_{0}}$）²
聯(lián)立得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$
（2）設(shè)到原點(diǎn)時(shí)帶電粒子的豎直分速度為v_y：
 v_y=$\frac{qE}{m}$t=$\frac{qE}{m}$$\frac{4L}{{v}_{0}}$=v₀
方向與軸正向成 45°角 粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得：
_{R1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L}
由洛倫茲力充當(dāng)向心力：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
可解得：B=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{2mv}{qL}$     
（3）運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周的半徑為：R₂=$\sqrt{2}$L
d₂≥R₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L                          
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：粒子從O到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=$\frac{\frac{π}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$
粒子從M到N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在區(qū)域Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=$\frac{\frac{3π}{2}\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{V}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$
粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為：t_總=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$
答：（1）第三象限勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$；
（2）區(qū)域Ⅰ內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2mv}{qL}$；
（3）如帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，問區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的寬度至少為（$\sqrt{2}$+1）L，粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．