Question

19．如圖所示，PQ和MN是固定于傾角為30°斜面內(nèi)的平行光滑金屬軌道，軌道足夠長，其電阻可忽略不計．金屬棒ab、cd放在軌道上，始終與軌道垂直，且接觸良好．金屬棒ab的質(zhì)量為2m、cd的質(zhì)量為m，長度均為L、電阻均為R；兩金屬棒的長度恰好等于軌道的間距，并與軌道形成閉合回路．整個裝置處在垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，若鎖定金屬棒ab不動，使金屬棒cd在與其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下，沿軌道向上做勻速運(yùn)動．重力加速度為g；
（1）試推導(dǎo)論證：金屬棒cd克服安培力做功的功率P_安等于電路獲得的電功率P_電；
（2）設(shè)金屬棒cd做勻速運(yùn)動中的某時刻t₀=0，恒力大小變?yōu)镕′=1.5mg，方向不變，同時解鎖、靜止釋放金屬棒ab，直到t時刻金屬棒ab開始做勻速運(yùn)動；求：
①t時刻以后金屬棒ab的熱功率P_ab；
②0～t時刻內(nèi)通過金屬棒ab的電量q．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速直線運(yùn)動，拉力與安培力平衡；再結(jié)合功能定關(guān)系及題意可以證明；
（2）根據(jù)系統(tǒng)動量守恒可求；根據(jù)題意可明確兩導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況，動量定理可求得列式，由積分規(guī)律可求得位移的改變量；再由電量的計算可求得流過cd的電荷量．

解答 解：（1）金屬棒cd做勻速運(yùn)動的速度為v，
電動勢為：E=BLv                       
電流為：I=$\frac{E}{2R}$                         
安培力為：F=IBL                            
金屬棒cd克服安培力做功的功率P_安=Fv      
電路獲得的電功率P_電=$\frac{{E}^{2}}{2R}$                    
聯(lián)立解得：P_安=P_電=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{2R}$                    
所以：P_安=P_電  
（2）①金屬棒ab做勻速運(yùn)動，則有I₁BL=2mgsin30° 
金屬棒ab的熱功率P_ab=I₁²R                            
聯(lián)立解得：P_ab=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$                          
②設(shè)t后時刻金屬棒ab做勻速運(yùn)動速度為v₁，金屬棒cd也做勻速運(yùn)動的速度為v₂；
由金屬棒ab、金屬棒cd組成系統(tǒng)動量守恒：mv=2mv₁+m v₂
回路電流I₁=$\frac{BL（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$                                       
聯(lián)立解得金屬棒ab做勻速運(yùn)動速度為v₁=$\frac{mgR}{3{B}^{2}{L}^{2}}$           
0～t時刻內(nèi)對金屬棒ab分析：在電流為i的很短時間△t內(nèi)，速度的該變量為△v，
由動量定理得：BiL△t-2mgsin30°•△t=2m△v
對進(jìn)行求和得：$\sum_{0}^{t}BiL△t$-$\sum_{0}^{t}mg△t$=$\sum_{0}^{t}2m△v$
解得：BLq-mgt=2mv₁
所以解得：q=$\frac{2{m}^{2}gR+3mg{B}^{2}{L}^{2}t}{3{B}^{3}{L}^{3}}$                             
答：（1）推證金屬棒cd克服安培力做功的功率P_安等于電路獲得的電功率P_電如上述過程所示；
（2）①t時刻以后金屬棒ab的熱功率為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；②0～t時刻內(nèi)通過金屬棒ab的電量為$\frac{2{m}^{2}gR+3mg{B}^{2}{L}^{2}t}{3{B}^{3}{L}^{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查法拉第電磁感應(yīng)定律、動量守恒定律及功能關(guān)系的應(yīng)用；要注意能正確應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析求解，這是本題中的難點(diǎn)所在．