Question

固定于水平桌面上的無限長(zhǎng)且光滑的金屬軌道MN、PQ（電阻不計(jì)），處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m的金屬棒ab以水平初速度V₀在軌道上向右運(yùn)動(dòng)（如圖）．另有n根質(zhì)量相同，編號(hào)為1、2…．n的金屬棒放置在軌道旁邊．已知磁感強(qiáng)度為B，MN、PQ相距為L(zhǎng)，ab棒電阻為r，編號(hào)為1、2…．n的金屬棒電阻均為R．現(xiàn)把編號(hào)為1的棒無初速輕放于軌道上，當(dāng)棒1達(dá)到最大速度時(shí)，又把編號(hào)為2的棒無初速輕放于軌道上，當(dāng)棒2達(dá)到最大速度時(shí)，又把編號(hào)為3的棒無初速輕放于軌道上…，直到編號(hào)為n的棒無初速輕放于軌道上而達(dá)到最大速度．
（1）編號(hào)為1的棒剛放上去時(shí)，ab棒兩端的電壓及棒1受到的安培力？
（2）編號(hào)為1的棒運(yùn)動(dòng)的最大速度？編號(hào)為1的棒開始運(yùn)動(dòng)到速度最大過程中流過ab棒的電荷量？
（3）編號(hào)為K的棒放上去后獲得的最大動(dòng)能與從開始放棒1到棒K有最大速度過程中系統(tǒng)的發(fā)熱量之比？

Answer 1

分析：1、由導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式求出電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路的歐姆定律求出電路中的電流，ab棒兩端的電壓為路段電壓，即編號(hào)為1的棒兩端的電壓，根據(jù)部分電路的歐姆定律可計(jì)算出來，棒1的安培力根據(jù)安培力的公式F=BIL，代入計(jì)算即可．
2、棒子1與ab棒有共同速度時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式計(jì)算，可得1號(hào)棒子的最大速度．對(duì)ab棒運(yùn)動(dòng)動(dòng)量定理研究：-B

.

I

L．△t=m V₁-m V₀，其中

.

I

．△t=q代入計(jì)算可得流過ab棒的電荷量．
3、ab及1…K號(hào)棒組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒，可求得最大速度，從而知道最大動(dòng)能．從開始放棒1到棒K有最大速度過程中系統(tǒng)的發(fā)熱量為Q等于系統(tǒng)減少的動(dòng)能．

解答：解：（1）編號(hào)為1的棒剛放上去時(shí)
導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BL V₀  …（1）
由閉合電路的歐姆定律：I=

E

R+r

…（2）
ab棒兩端電壓U=I．R…（3）
棒1受到的安培力F=BIL…（4）
由（1）-（4）得U=

BLV0

R+r

．R
F=

B2L2V0

R+r

安培力方向水平向右             
（2）棒1與ab棒有共同速度時(shí)，棒1速度最大，設(shè)最大速度為V₁，ab及棒1組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒
m V₀=（m+m）V₁   …（5）
由（5）得V₁=

v0

2

                     
ab棒在運(yùn)動(dòng)過程中受安培力作用，狀態(tài)發(fā)生改變，設(shè)經(jīng)過時(shí)間△t棒1速度達(dá)到最大，此過程中通過ab棒的電量為q
根據(jù)動(dòng)量定理：-B

.

I

L．△t=m V₁-m V₀  …（6）
根據(jù)電流的定義：q=

.

I

．△t    …（7）
由（6）-（7）得：q=

mV0

2BL

…（8）
（3）設(shè)編號(hào)為K的棒放上去后達(dá)到的最大速度為V_K，ab及1…K號(hào)棒組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒：
mV₀=（m+Km）V_K  …（9）
所以：vk=

v0

1+k

棒K具有的最大動(dòng)能為：
E_K=

1

2

mVK2…（10）
得：E_K=

mv02

2(1+k)2

…（11）
設(shè)從開始放棒1到棒K有最大速度過程中系統(tǒng)的發(fā)熱量為Q，
根據(jù)能量守恒得：Q=

1

2

mV02-

1

2

．(K+1)mVK2=

kmv02

2(1+k)

…（12）
由（11）-（12）得：

Ek

Q

=

1

K(K+1)

答：（1）編號(hào)為1的棒剛放上去時(shí)，ab棒兩端的電壓及棒1受到的安培力大小為

B2L2V0

R+r

，方向水平向右．
（2）編號(hào)為1的棒運(yùn)動(dòng)的最大速度為

v0

2

．編號(hào)為1的棒開始運(yùn)動(dòng)到速度最大過程中流過ab棒的電荷量為

mV0

2BL

．
（3）編號(hào)為K的棒放上去后獲得的最大動(dòng)能為

mv02

2(1+k)2

，從開始放棒1到棒K有最大速度過程中系統(tǒng)的發(fā)熱量之比為

1

K(K+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是要把a(bǔ)b及1…K號(hào)棒組成系統(tǒng)來研究，運(yùn)用動(dòng)量守恒求解最大速度，運(yùn)用能量守恒求解系統(tǒng)發(fā)熱量．本題難度較大，屬于難題．