Question

（20分）一個(gè)質(zhì)量為m₁的廢棄人造地球衛(wèi)星在離地面h=800km高空作圓周運(yùn)動(dòng)，在某處和一個(gè)質(zhì)量為m₂＝的太空碎片發(fā)生迎頭正碰，碰撞時(shí)間極短，碰后二者結(jié)合成一個(gè)物體并作橢圓運(yùn)動(dòng)。碰撞前太空碎片作橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓軌道的半長軸為7500km，其軌道和衛(wèi)星軌道在同一平面內(nèi)。已知質(zhì)量為m的物體繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其總能量即動(dòng)能與引力勢能之和，式中G是引力常量，M是地球的質(zhì)量，a為橢圓軌道的半長軸．設(shè)地球是半徑R=6371km的質(zhì)量均勻分布的球體，不計(jì)空氣阻力。資.源.網(wǎng)

（i）試定量論證碰后二者結(jié)合成的物體會不會落到地球上。.考.資.源.網(wǎng)

（ii）如果此事件是發(fā)生在北級上空（地心和北極的連線方向上），碰后二者結(jié)合成的物體與地球相碰處的緯度是多少？

Answer 1

解析：

（i）圖1為衛(wèi)星和碎片運(yùn)行軌道的示意圖。以v₁表示碰撞前衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的速度，以M表示地球E的質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有

                      （1）

式中G是引力常量．由（l）式得

               （2）高.考.資.源.網(wǎng)

以v₂表示剛要碰撞時(shí)太空碎片的速度，因?yàn)榕c衛(wèi)星發(fā)生碰撞時(shí)，碎片到地心的距離等于衛(wèi)星到地心的距離，根據(jù)題意，太空碎片作橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量

               （3）

式中a為橢圓軌道的半長軸．由（3）式得

    （4）

衛(wèi)星和碎片碰撞過程中動(dòng)量守恒，有

      m₁v₁－m₂v₂=(m₁+m₂)v                       （5）

這里v是碰后二者結(jié)合成的物體（簡稱結(jié)合物）的速度．由（5）式得

                                 （6）

由（2）、（4）、（6）三式并代人有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                （7）

結(jié)合物能否撞上地球，要看其軌道（橢圓）的近地點(diǎn)到地心的距離r_min，如果r_min<R，則結(jié)合物就撞上地球．為此我們先來求結(jié)合物軌道的半長軸a '。結(jié)合物的總能量

             （8）

代人有關(guān)數(shù)據(jù)得   a '=5259km                       （9）

結(jié)合物軌道的近地點(diǎn)到地心的距離

r_min=2 a '－（R+h）=3347km<R                （10）

據(jù)此可以判斷，結(jié)合物最后要撞上地球。

（ii）解法一

在極坐標(biāo)中討論，取極坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)在地心處，極軸由北極指向南極，如圖2所示。碰撞點(diǎn)在北極上空，是橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，結(jié)合物軌道的橢圓方程

                             （11）

式中e是偏心率，p是橢圓的半正焦弦，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離

      r_max=R+h                                   （12）

由解析幾何有

                           （13）

在軌道的近地點(diǎn)，r=r_min，θ=0，由（11）式得

      p=r_min(1+e)(=4563km)                          （14）

或有

      p=r_max (1－e)                                 （15）

在結(jié)合物撞擊地球處；r= R，由（11）式有

                                     （16）

或                                    （17）

代人有關(guān)數(shù)據(jù)可得

      cosθ=－0.7807                                 （18）

      θ=141.32⁰                                     （19）

這是在北緯51.32⁰ 。

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

第（i）小題12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分。第（ii）小題8分。（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在141⁰到142⁰之間的都給2分），正確指出緯度給l分。

解法二

在直角坐標(biāo)中討論．取直角坐標(biāo)系，以橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸通過近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)并由遠(yuǎn)地點(diǎn)指向近地點(diǎn)，如圖3所示。結(jié)合物軌道的橢圓方程是

                             （20）

式中a＇、b＇分別為結(jié)合物橢圓軌道的半長軸和半短軸。遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離

      r_max=R+h                                 （21）

根據(jù)解析幾何，若c為地心與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離，

      c= r_max－a＇(=1912km)                      （22）

而                                （23）

注意到a＇由（9）式給出，得

      b＇=4899km                               （24）

結(jié)合物撞擊地面處是結(jié)合物的橢圓軌道與地面的交點(diǎn)，設(shè)該處的坐標(biāo)為x_p和y_p，則有

      x_p=Rcosθ+c                                （25）

      y_p=Rsinθ                                  （26）

式中θ為從地心指向撞擊點(diǎn)的矢經(jīng)與x方向的夾角．因撞擊點(diǎn)在結(jié)合物的軌道上，將（24）、（25）式代入軌道方程（20）式，經(jīng)整理得

            （27）

引人以下符號并代人有關(guān)數(shù)據(jù)得

       高.考.資.源.網(wǎng)

       ht

      高.考.資.源.網(wǎng)

代入（27）式得

                         （28）

解得                      （29）

舍掉不合理的答案，得

      cosθ=－0.7807                               （30）

      θ=141.32⁰                                   （31）

這是在北緯51.32⁰ 。

評分標(biāo)準(zhǔn)：

（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在141⁰到142⁰之間的都給2分），正確指出緯度給1 分。