Question

如圖8-1-24所示，豎直放置的氣缸內(nèi)盛有氣體，上面被一活塞蓋住，活塞通過(guò)勁度系數(shù)k=600 N/m的彈簧與氣缸相連接，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).已知此時(shí)外界大氣壓強(qiáng)p₀=1.00×10⁵ N/m²,活塞到缸底的距離l=0.500 m，缸內(nèi)橫截面積S=1.00×10^-2 m².今在等溫條件下將活塞緩慢上提到距缸底為2l處，此時(shí)提力為F=500 N.彈簧的原長(zhǎng)l₀應(yīng)為多少？若提力為F=700 N，彈簧的原長(zhǎng)l₀又應(yīng)為多長(zhǎng)？（不計(jì)摩擦及活塞和彈簧的質(zhì)量，并假定在整個(gè)過(guò)程中，氣缸不漏氣，彈簧都遵從胡克定律）

圖8-1-24

Answer 1

解析：活塞受力平衡，封閉氣體做等溫變化，利用玻意耳定律和平衡知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

解法一：設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為l₀，氣體原來(lái)的壓強(qiáng)為p，后來(lái)為p′，則由玻意耳定律可得pl=p′·2l①

得p′S=p₀S+k（l-l₀）②

在后來(lái)狀態(tài)下，活塞受力如圖所示，由力學(xué)平衡可得

p′S+F=p₀S+k（2l-l₀）③

由①②③聯(lián)立解得

p=④

由②式得

l₀=l+（p₀-p）⑤

當(dāng)F=500 N時(shí)，由④式得p=0.4p₀，再代入⑤式得l₀=1.50 m.可見(jiàn)在整個(gè)過(guò)程中彈簧始終處于壓縮狀態(tài).

當(dāng)F=700 N時(shí)，由④式得p=0.8p₀，再代入⑤式得l₀=0.833 m.可見(jiàn)在整個(gè)過(guò)程中彈簧始終處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)活塞提高到距缸底距離超過(guò)l₀=0.833 m后，彈簧被拉伸.

正確求出l₀的兩個(gè)結(jié)果.

解法二：設(shè)開(kāi)始時(shí)彈簧的壓縮量為x（若得出x為負(fù)值，則表示開(kāi)始時(shí)彈簧被拉長(zhǎng)），原長(zhǎng)為l₀

依題意得方程：

p₀S=pS+kx①

p₀S=p′S-k（l₀-2x）+F②

p′S·2（l₀-x）=pS（l₀-x）③

l₀=l+x④

由①②③④式聯(lián)立，解得

x=⑤

當(dāng)F=500 N時(shí)，代入⑤式，得

x=1.00 m，l₀=1.50 m

當(dāng)F=700 N時(shí)，代入⑤式，得

x=0.333 m，l₀=0.833 m.