Question

（20分）一根長(zhǎng)為 L（以厘米為單位）的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉，一端開口，處在大氣中。大氣的壓強(qiáng)與 H 厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長(zhǎng) L ＞H �，F(xiàn)把細(xì)管彎成 L 形，如圖所示。假定細(xì)管被彎曲時(shí)，管長(zhǎng)和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化。可以把水銀從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出。當(dāng)細(xì)管彎成 L 形時(shí)，以 l 表示其豎直段的長(zhǎng)度，問 l 取值滿足什么條件時(shí)，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值（用水銀柱的長(zhǎng)度表示）。

Answer 1

參考解答

開始時(shí)豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度為 L，壓強(qiáng)為 H（以 cmHg 為單位），注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短。當(dāng)管中水銀柱長(zhǎng)度為 x 時(shí)，管內(nèi)空氣壓強(qiáng) p＝（H＋x），根據(jù)波意耳定律，此時(shí)空氣柱長(zhǎng)度

　（1）

空氣柱上表面與管口的距離

（2）

開始時(shí) x 很小，由于 L＞H，故

即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至 d＝x（即水銀柱上表面與管口相平）時(shí)為止。何時(shí)水銀柱表明與管口相平，可分下面兩種情況討論。

1. 水銀柱表明與管口相平時(shí)，水銀柱未進(jìn)入水平管

此時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度 ，由波意耳定律有

　（3）

由（3）式可得

　（4）

由此可知，當(dāng) 時(shí)，注入的水銀柱的長(zhǎng)度 x 的最大值

　（5）

2. 水銀柱表面與管口相平時(shí)，一部分水銀進(jìn)入水平管

此時(shí)注入水銀柱的長(zhǎng)度 x＞l ，由波意耳定律有

　 　（6）

（7）

（8）

由（8）式得

，或 　（9）

　（10）

即當(dāng) 時(shí)，注入水銀柱的最大長(zhǎng)度 。

由上討論表明，當(dāng) 時(shí)，可注入的水銀量最大，這時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度為 ，即（5）式。