Question

15．如圖甲，右端固定的壓縮彈簧，將小球由靜止彈出，小球從軌道末端A豎直飛出，恰好從轉(zhuǎn)盤的M孔向上穿出，又恰好從N孔落下．己知彈簧彈性勢(shì)能E=9J，小球質(zhì)量m=0.5kg，半徑為R=1m的$\frac{1}{4}$圓軌道與水平軌道平滑連接，整條軌道的中間呈V形（如圖乙），夾角為60°（如圖丙）．圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，豎直軸與盤面垂直，孔M、N在同一條直徑上，且緊挨軌道上端A．不計(jì)一切摩擦、空氣阻力及小球通過孔的時(shí)間，g=10m/s²．求：
（1）小球在通過圓軌道上端A時(shí)，V形槽每個(gè)面對(duì)小球支持力的大��；
（2）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出經(jīng)過M點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合力的合成原則求解V形槽每個(gè)面對(duì)小球支持力的大小；
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，小球離開A又回到A的時(shí)間，這段時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)（n+$\frac{1}{2}$）T，結(jié)合周期和角速度關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）由機(jī)械能守恒定律得：$E=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mgR$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
由牛頓第二定律得：${F_向}=\frac{mv_1^2}{R}$=8N
根據(jù)幾何關(guān)系可知，V形槽對(duì)小球的兩支持力夾角為120°，
則V形槽每個(gè)面對(duì)小球支持力的大小F=F_向=8N，
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，小球離開A又回到A的時(shí)間為：$t=\frac{{2{v_1}}}{g}=0.8s$，
剛好從N空落下，需滿足：$t=\frac{T}{2}$+nT（n=0，1，2…）
且$T=\frac{2π}{ω}$
解得：$ω=\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．
答：（1）小球在通過圓軌道上端A時(shí)，V形槽每個(gè)面對(duì)小球支持力的大小為8N；
（2）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω為$\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，注意圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，難度適中．