Question

19．隨著摩天大樓的不斷建設(shè)，鋼索懸掛式電梯已經(jīng)不能滿足要求．這是因?yàn)殇撍鞯拈L度隨著樓層的增高而相應(yīng)增加，這些鋼索會(huì)由于承受不了自身的重力而無法懸掛轎箱．為此，科技人員開發(fā)一種磁動(dòng)力電梯來解決這個(gè)問題．圖示是磁動(dòng)力電梯示意圖，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面交替排列的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，大小均為B=1.0T，但方向相反，兩磁場(chǎng)始終豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．電梯轎廂固定在如圖所示的金屬框abcd內(nèi)（電梯轎廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．已知電梯載人時(shí)的總質(zhì)量為5×10³kg，所受阻力f=1000N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2.0m，兩磁場(chǎng)的寬度均與金屬框的邊長L_ad相同，金屬框整個(gè)回路的電阻R=4.0×10^-4Ω，g取10m/s²．
（1）若設(shè)計(jì)要求電梯啟動(dòng)時(shí)以加速度a=2m/s²的加速度上升，求金屬框中感應(yīng)電流的大小及圖示時(shí)刻感應(yīng)電流的方向；
（2）電梯以加速度a=2m/s²勻加速上升運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v_B與時(shí)間t的關(guān)系．
（3）該磁動(dòng)力電梯向上運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度v₁=10m/s時(shí)，將勻速運(yùn)行，求電梯勻速運(yùn)行時(shí)提升轎廂的效率．

Answer 1

分析 （1）金屬框加速上升時(shí)，ab、cd兩均切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩邊均受到安培力，根據(jù)牛頓第二定律和左手定則可確定感應(yīng)電流的大小和方向．
（2）由歐姆定律和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v₀的大小的表達(dá)式；
（3）根據(jù)功率公式求出重力、阻力和電路中產(chǎn)生的熱功率，由效率公式可求得該裝置的效率．

解答 解：（1）對(duì)電梯分析可知，要使電梯勻加速上升，由牛頓第二定律可知：
F-f-mg=ma
解得安培力為：F=f+ma+mg=1000+5×10³×2+5×10⁴=6.1×10⁴N；
由于上下兩邊均受安培力，則由F=2BIL可知
I=$\frac{F}{2BL}$=$\frac{6.1×1{0}^{4}}{2×2}$=1.525×10⁴A
由左手定則可知，電流方向?yàn)閍dcba；
（2）電梯要保證勻加速上升，則電流恒定，電梯的速度v=at=2t；
為了保證電流不變，則由導(dǎo)體切割磁感線規(guī)律可知：
$\frac{2{B}_{t}L（{v}_{B}-v）}{R}$=I
聯(lián)立以上兩式解得：
即v_B=0.275+2t；
（3）金屬框中的熱功率為：P₁=I²R=（2.75×10³）²×4×10^-4=3.05×10³W
重力功率為：P₂=mgv₁=5×10³×10×10=5×10⁵W
阻力的功率為：P₃=fv₁=1000×10=1×10⁴W
則提升轎廂的效率η=$\frac{{P}_{2}}{{P}_{1}+{P}_{2}+{P}_{3}}$=97%
答：（1）金屬框中感應(yīng)電流的大小為1.525×10⁴A；圖示時(shí)刻感應(yīng)電流的方向?yàn)閍dcba
（2）電梯以加速度a=2m/s²勻加速上升運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v₀與時(shí)間t的關(guān)系為v_B=0.275+2t．
（3）電梯勻速運(yùn)行時(shí)提升轎廂的效率為97%．

點(diǎn)評(píng) 本題是理論聯(lián)系實(shí)際的問題，與磁懸浮列車模型類似，關(guān)鍵要注意磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，線框相對(duì)于磁場(chǎng)向下運(yùn)動(dòng)，而且上下兩邊都切割磁感線，產(chǎn)生兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)邊都受安培力；同時(shí)注意產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中的計(jì)算時(shí)，速度應(yīng)為線框相對(duì)于磁場(chǎng)的速度．