Question

5．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓管豎直放置，頂端塞有一個(gè)可看為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m的彈性小球，M=4m，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．管從下端距地面H處自由落下，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度
與落地時(shí)速度大小相等，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）管第一次落地彈起瞬間管和球的加速度大小和方向；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，L至少多長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對(duì)于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對(duì)于管靜止時(shí)的相對(duì)位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對(duì)加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對(duì)靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，從而明確管子的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由牛頓第二定律，管第一次落地彈起時(shí)，管的加速度為：
${a_1}=\frac{f+4mg}{4m}=2g$，方向向下 
球的加速度為：${a_2}=\frac{f-mg}{m}=3g$，方向向上 
（2）球與管第一次碰地時(shí)速度由$v_0^2=2gH$可得：
${v_0}=\sqrt{2gH}$
同理可得碰地后管的速度為：${v_1}=\sqrt{2gH}$，方向向上；
球的速度為：${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下．
若球剛好沒(méi)有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，球管速度v相同，取向上為正方向，則有：
v₁-a₁t=-v₂+a₂t
解得：$t=\frac{{2{v_0}}}{{{a_1}+{a_2}}}=\frac{{2\sqrt{2gH}}}{5g}$
管從彈起經(jīng)t₁這段時(shí)間上升的高度為：${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}t_{\;}^2=\frac{12}{25}H$
球上升的高度為：${h_2}=-{v_2}t+\frac{1}{2}{a_1}t_{\;}^2=-\frac{8}{25}H$
管的長(zhǎng)度至少為：$L={h_1}-{h_2}=\frac{4}{5}H$
答：（1）管第一次落地彈起瞬間管的加速度為2g，方向向下；球的加速度大小為3g；方向向下；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，L至少為$\frac{4H}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過(guò)計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．