Question

8．如圖1所示，固定兩根與水平面成θ=30°角的足夠長光滑金屬導軌平行放置，導軌間距為L=1m，導軌底端接有阻值為R=1Ω的電阻，導軌的電阻忽略不計．整個裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面斜向上，磁感應強度B=1T．現有一質量為m=0.2kg、電阻不計的金屬棒用細繩通過光滑滑輪與質量為M=0.5kg的物體相連，細繩與導軌平面平行．將金屬棒與M由靜止釋放，棒沿導軌運動距離s=2m后開始做勻速運動．運動過程中，棒與導軌始終保持垂直接觸．（取重力加速度g=10m/s²）求：
（1）金屬棒勻速運動時的速度；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產生的焦耳熱；
（3）若保持某一大小的磁感應強度B₁不變，取不同質量M的物塊拉動金屬棒，測出金屬棒相應的做勻速運動的v值，得到實驗圖象如圖2所示，請根據圖中的數據計算出此時的B₁（結果可保留根號）；
（4）改變磁感應強度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，請畫出相應的v-M圖線，并請說明圖線與M軸的交點的物理意義．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運動時，受力平衡，繩子的拉力大小等于Mg，由平衡條件和安培力公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求解速度．
（2）金屬棒上滑的過程中，M的重力勢能減小轉化為m的重力勢能、M和m的動能及電路中的內能，根據能量守恒定律求解電阻R上產生的焦耳熱；
（3）由（1）中速度與質量的關系式，分析圖象的斜率與截距的意義，求解B₁．
（4）根據磁感應強度的關系可得出圖象失斜率變化，則可以作出v-M圖線，并明確圖象與M軸交點的物理意義．

解答 解：（1）金屬棒受力平衡，所以
Mg=mgsinθ+BIL  ①
又I=$\frac{BLv}{R}$         ②
所求速度為：v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數據解得：v=4m/s             
（2）對系統(tǒng)，由能量守恒有：
Mgs=mgssinθ+Q+$\frac{1}{2}$（M+m）v²③
所求熱量為：Q=Mgs-mgs sin θ-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
代入數據解得：Q=2.4J   
（3）由上式①②變換成速度與質量的函數關系為：
v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}M$-$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$-④
再由圖象可得：$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{10}{0.3}$
所以   B₁=$\sqrt{0.3}$T  
（4）由④式的函數關系可知，當B₂=2B₁時，圖線的斜率減小為原來的$\frac{1}{4}$．
與M軸的交點不變，圖線與M軸的交點坐標為：msinθ．      
坐標圖上畫出相應的v-M圖線，如圖紅線所示        

答：（1）金屬棒勻速運動時的速度4m/s；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產生的焦耳熱為2.4J
（3）根據圖中的數據計算出此時的B₁為$\sqrt{3}$T
（4）改變磁感應強度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，相應的v-M圖線如圖所示，并請說明圖線與M軸的交點表示msinθ．

點評 本題考查電磁感應規(guī)律與功能關系和受力分析的結合，解題的關鍵在于根據物理規(guī)律得到解析式，再分析圖象的數學意義，采用數學上數形結合的方法進行分析求解，注意根據功能關系分析產生的焦耳熱．