Question

18．如圖所示，在xOy平面內(nèi)以原點O為圓心，R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，存在一勻強磁場磁感應(yīng)強度的大小為B，方向垂直于xOy平面向里，在x=2R處有一平行于y軸的光屏，在原點沿y軸正方向發(fā)射電子，已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m．
（1）如果電子能射出磁場區(qū)域，求發(fā)射速度v的范圍．
（2）若發(fā)射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，則電子到達光屏的位置到x軸的距離是多少（用R表示）？
（3）若電子垂直打在光屏上，則電子的發(fā)射速度為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$可知，粒子的速度越大，半徑越大，結(jié)合運動軌跡的幾何關(guān)系，即可求出速度的范圍；
（2）將速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$代入粒子運動的半徑公式，畫出運動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出電子到達光屏的位置；
（3）若電子垂直打在光屏上，則電子射出磁場的速度方向沿x軸的方向，做出運動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子運動的半徑，然后由半徑公式即可求出電子的發(fā)射速度．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$Bev=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{eB}$
可知粒子運動的速度越大，軌道的半徑越大，當粒子運動的軌道半徑與磁場的邊界相切時，是粒子剛好不能射出磁場的臨界條件，此時粒子軌道的半徑：${r}_{1}=\frac{R}{2}$
所以，如果電子能射出磁場區(qū)域，發(fā)射速度應(yīng)滿足：$v＞\frac{Be{r}_{1}}{m}=\frac{BeR}{2m}$
（2）若發(fā)射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，則電子在磁場中運動的軌跡的半徑：
${r}_{2}=\frac{mv}{eB}=\frac{m}{eB}•\frac{BeR}{m}=R$
做出粒子運動的軌跡如圖1，

設(shè)該軌跡與磁場的邊界交于A點，粒子射出磁場后打在光屏上的C點，AC反向延長，與x軸交于D點，由幾何關(guān)系可知，AO′=r₂=R=OO′=OA
所以△OAO′是等邊三角形，∠AO′O=60°，
由于O′A⊥AC，則∠ADO=30°，所以D點恰好在磁場的最左側(cè)邊界上，D到光屏的距離為3R，所以C點到x軸的距離：$L=3R•tan30°=\sqrt{3}R$
（3）若電子垂直打在光屏上，則電子射出磁場的速度方向沿x軸的方向，粒子偏轉(zhuǎn)的角度是90°，做出運動的軌跡如圖2，與磁場的邊界交于P點，設(shè)P點的坐標（x，y）則由幾何關(guān)系可知，x=y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=R$
所以：$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
即粒子軌道的半徑：${r}_{3}=x=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
則電子的發(fā)射速度：$v′=\frac{Be{r}_{3}}{m}=\frac{\sqrt{2}BeR}{2m}$
答：（1）如果電子能射出磁場區(qū)域，發(fā)射速度v的范圍是$v＞\frac{BeR}{2m}$．
（2）若發(fā)射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，則電子到達光屏的位置到x軸的距離是$\sqrt{3}R$；
（3）若電子垂直打在光屏上，則電子的發(fā)射速度為$\frac{\sqrt{2}BeR}{2m}$

點評 帶電粒子在磁場中由洛倫茲力提供做勻速圓周運動，同時結(jié)合數(shù)學幾何關(guān)系來構(gòu)建長度關(guān)系．注意運動圓弧的半徑與磁場半徑的區(qū)別．