Question

5．一個沿水平方向運動的半徑為R的半圓柱體，在半圓柱面上擱著一根只能在豎直方向上運動的直桿（套在一個光滑的套管中），直桿的質(zhì)量為m． 已知在半圓柱體速度為v₀，加速度為a₀時，桿與半圓柱體接觸點的角位置為θ．如圖所示，求此時半圓柱對豎直桿的支持力．

Answer 1

分析 根據(jù)運動的合成與分解規(guī)律可明確桿對地的速度和對地的加速度，再由牛頓第二定律可求得半圓柱對豎直桿的支持力．

解答 解：取半圓柱體為參照物，則v、a應(yīng)為相對速度和相對加速度，豎直桿上的最低點P點相對于圓柱體的速度v相沿圓柱面上P點的切線方向，因此豎直桿的速度（相對于地面）應(yīng)為v_相和v的矢量和，如下圖所示，由幾何關(guān)系可知v_相=vtanθ．圓柱體表面上P點的加速度由切向加速度a_t與法向加速度a_n組成，其中a_n=$\frac{{v}_{相}^{2}}{R}$，
即a_n=$\frac{{v}^{2}}{Rco{s}^{2}θ}$，P點的對地加速度為a_t、a_n的矢量和，
由圖可知acosθ=a₀sinθ-a_ncosθ
解得：a=a₀tanθ--$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
對桿在豎直方向進(jìn)行分析，由牛頓第二定律可知
F-mg=ma
解得：F=mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
答：此時半圓柱對豎直桿的支持力為mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$

點評 本題考查運動的合成與分解，要注意明確P點相對于地面運動合速度可以看作是球運動的速度以及切向速度的合速度；同時注意速度、加速度及力等矢量均可以進(jìn)行合成．