Question

18．如圖所示，足夠長的U形光滑金屬導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，與磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直，導(dǎo)軌間距為L，上端與電阻為R連接，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，ab棒的質(zhì)量為m，連接電路的電阻為r，金屬棒ab由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，并與兩導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，當(dāng)電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q時(shí)金屬棒ab恰好達(dá)到最大速度，求：
（1）金屬棒ab沿導(dǎo)軌下滑的最大速度v
（2）金屬棒ab加速運(yùn)動(dòng)過程中通過金屬棒的電量q．

Answer 1

分析 （1）金屬棒先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)平衡條件和閉合電路歐姆定律結(jié)合，可求得最大速度v．
（2）通過金屬棒的電量q等于平均電流與時(shí)間的乘積，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求出平均電流，由能量守恒求得金屬棒下滑的距離，聯(lián)立即可得解．

解答 解：（1）金屬棒達(dá)到最大速度后做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)電流為I，由平衡條件有
 mgsinθ=BIL
又 BLv=I（R+r）
聯(lián)立得 v=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）設(shè)金屬棒ab加速運(yùn)動(dòng)過程的位移為x，電路中的平均電流為I₁，則
 q=I₁t
由閉合電路歐姆定律得  I₁=$\frac{△Ф}{（R+r）△t}$
而磁通量的變化量△Ф=BLx
由焦耳定律得 $\frac{{Q}_{r}}{Q}$=$\frac{r}{R}$
由能量守恒定律得  mgxsinθ=（Q+Q_r）+$\frac{1}{2}$mv²
解得 q=$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}Q+{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）si{n}^{2}θ}{2mgR{B}^{3}{L}^{3}sinθ}$
答：
（1）金屬棒ab沿導(dǎo)軌下滑的最大速度v為$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金屬棒ab加速運(yùn)動(dòng)過程中通過金屬棒的電量q為$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}Q+{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）si{n}^{2}θ}{2mgR{B}^{3}{L}^{3}sinθ}$．

點(diǎn)評 電磁感應(yīng)綜合題中，常常用到這個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：感應(yīng)電量q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，常用來求位移．但在計(jì)算題中，不能直接作為公式用，要進(jìn)行推導(dǎo)．