Question

20．如圖，水平面粗糙，光滑半圓形軌道的半徑為R，彈簧自由端D與軌道最低點C之間的距離為4R，一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的小物塊自圓軌道中點B由靜止釋放，壓縮彈簧后被彈回到D點恰好靜止．已知小物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.2，重力加速度為g，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)．

（1）求彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢能；
（2）現(xiàn)把D點右側(cè)水平面打磨光滑，且已知彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比．現(xiàn)使小物塊壓縮彈簧，釋放后能通過半圓形軌道最高點A，求壓縮量至少是多少？

Answer 1

分析 （1）對小物塊從B到壓縮到最右端再返回到D點為研究過程，根據(jù)動能定理求出彈簧的最大壓縮量．從壓縮量最大位置到返回原長的過程中，彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出最大彈性勢能．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出通過最高點A的最小速度，抓住彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比，從彈簧壓縮的位置到A點運用動能定理，求出壓縮量的大�。�

解答 解：（1）設(shè)彈簧的最大壓縮量為x，最大彈性勢能為E_P．
物塊從B到返回D的整個過程，由動能定理得
 mgR-μmg（4R+2x）=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回過程彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能 E_P=μmgx           ③
得    E_P=0.1mgR        ④
故彈簧的最大壓縮量為0.5R，最大彈性勢能為0.1mgR．
（2）設(shè)壓縮量至少為x′，相應(yīng)的彈性勢能為E_P′
  $\frac{{E}_{P}′}{{E}_{P}}$=$\frac{x{′}^{2}}{{x}^{2}}$            ⑤
物塊恰能通過A點時，有  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$     ⑥
根據(jù)能量守恒定律得：
E_P′-μmg•4R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_A²     ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦解得  x′=$\frac{\sqrt{33}}{2}$R          ⑧
故壓縮量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}$R．
答：
（1）彈簧的最大壓縮量為0.5R，最大彈性勢能為0.1mgR；
（2）壓縮量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}$R．

點評 本題綜合運用了動能定理和能量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過程，選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行求解．