Question

（16分）用如圖所示的水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端。傳送帶AB的長度L=11m，上表面保持勻速向右運行，運行的速度v=12m/s。傳送帶B端靠近傾角q=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓弧。在A、C處各有一個機器人，A處機器人每隔Dt=1.0s將一個質量m=10kg的貨物箱（可視為質點）輕放在傳送帶A端，貨物箱經傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零，C點處機器人立刻將貨物箱搬走。已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的，g=10m/s²（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：

（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ；

（2）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=3.0 s的時間內，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產生的熱量Q；

（3）如果C點處的機器人操作失誤，未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞。求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離。（本問結果可以用根式表示

 

Answer 1

（16分）（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據牛頓第二定律有

μ₀ mg =ma₀

解得                 a₀=μ₀ g=5.5m/s²                                      (2分)

由運動學公式       v₁²=2 a₀L

解得貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小為      v₁=11m/s

貨物箱剛沖上斜面時的速度       v₂=(1－)v₁=10m/s

貨物箱在斜面上向上運動過程中      v₂²=2 a₁s

解得                         a₁=10m/s²                                   (1分)

根據牛頓第二定律       mgsinq+mmgcosq=ma₁

解得                     m=0.5                                       (2分)

（2）3.0s內放上傳送帶的貨物箱有3個，前2個已經通過傳送帶，它們在傳送帶上的加速時間t₁= t₂=2.0s；第3個還在傳送帶上運動，其加速時間 t₃=1.0s。

前2個貨物箱與傳送帶之間的相對位移    

Ds=v t₁-v₁t₁=13m

第3個貨物箱與傳送帶之間的相對位移

Ds¢=vt₃-v₁t₃=9.25m                          (1分)

前2個貨物箱與傳送帶摩擦產生的總熱量為

Q₁=2μ₀ mgDs =1430J               

第三個貨物箱與傳送帶摩擦產生的熱量為：

Q₂=μ₀ mgDs¢ =508.75J。                         (1分)

總共生熱            Q＝Q₁+Q₂＝1938.75J。                           (2分)

（3）貨物箱由A運動到B的時間為2.0s，由B運動到C的時間為1.0s，可見第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面。

貨物箱沿斜面向下運動，根據牛頓第二定律有

mgsinq-mmgcosq=ma₂

解得加速度大小                a₂=2.0m/s²                                 (1分)

設第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t，有                      v₂ t -a₁t ²+a₂t ²=s

解得                   s ≈ 0.69 s                               (3分)

兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離

s₁ =a₂t ²=m ≈ 0.48 m                     (3分)