Question

（2006?靜安區(qū)模擬）如圖所示，兩光滑平行導(dǎo)軌MN、PQ水平放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直，金屬棒ab可沿導(dǎo)軌自由移動(dòng)，導(dǎo)軌左端M、P接一定值電阻，金屬棒和導(dǎo)軌電阻均不計(jì)，現(xiàn)將金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止向右拉，若保持拉力F恒定，經(jīng)時(shí)間t₁后速度為v，加速度為a₁，最終以速度2v做勻速運(yùn)動(dòng)；若保持拉力的功率不變，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂后，速度為v，加速度為a₂，最終也以2v做勻速運(yùn)動(dòng)，求a₁和a₂的比值？

Answer 1

分析：根據(jù)E=BIL，I=

E

R

，E=BLv推導(dǎo)出棒的速度為v和2v時(shí)所受的安培力大小．由于兩種情況下棒最終都做速度為2v的勻速運(yùn)動(dòng)，拉力與安培力平衡，根據(jù)牛頓第二定律和功率公式P=Fv求解加速度之比．

解答：解：棒的速度為v時(shí)，所受的安培力為 F_1⁼BLI₁=

BLE1

R

=

BL?BLv

R

=

B2L2v

R

    
棒的速度為2v時(shí)，所受的安培力為 F₂=BLI₂₌

BLE2

R

=

BL?BL?2v

R

=

B2L22v

R

  
兩種情況下，棒最終做勻速運(yùn)動(dòng)的速度均為2v，對(duì)應(yīng)此時(shí)的拉力均為：
  F=F₂=

B2L22v

R

                          
（1）若F恒定，ab棒速度為v時(shí)的加速度為：a₁=

F-F1

m

  
解得：a₁=

B2L2v

mR

                        
（2）若P恒定，則得拉力的功率為 P=F?2v=

4B2L2v2

R

，
ab棒速度為v時(shí)，拉力為 F?=

p

v

=

4B2L2v

R

此時(shí)ab棒的加速度為：a₂=

F′-F1

m

          
解得：a₂=

3B2L2v

mR

           
∴

a1

a2

=

1

3

   
 答：a₁和a₂的比值為

a1

a2

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題可以和機(jī)車啟動(dòng)的兩種方式進(jìn)行類比解答，只不過(guò)機(jī)車啟動(dòng)時(shí)阻力不變，而該題中阻力為安培力，是不斷變化的．推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．