Question

5．如圖所示，一根長(zhǎng)0.1m的細(xì)線，一端系著一個(gè)質(zhì)量為0.18kg的小球，拉住線的另一端，使球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增加到原來(lái)轉(zhuǎn)速的3倍時(shí)，細(xì)線斷裂，這時(shí)測(cè)得線的拉力比原來(lái)大40N．則：（g取10m/s²）
（1）線斷裂的瞬間，線的拉力多大？
（2）這時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的線速度多大？
（3）如果桌面高出地面0.8m，線斷后小球垂直桌面邊緣飛出，落地點(diǎn)離桌面的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由線的拉力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)開(kāi)始時(shí)和斷開(kāi)前列方程，結(jié)合條件：線斷開(kāi)前的瞬間線的拉力比開(kāi)始時(shí)大40N，求解線的拉力；
（2）設(shè)線斷時(shí)小球的線速度大小為v，此時(shí)繩子的拉力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得速度；
（3）小球離開(kāi)桌面時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度求出時(shí)間，根據(jù)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)求出水平距離．

解答 解：（1）小球在光滑桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受三個(gè)力作用；重力mg、桌面彈力F_N和細(xì)線的拉力F，重力mg和彈力F_N平衡，線的拉力提供向心力，有：
F_n=F=mω²R，
設(shè)原來(lái)的角速度為ω₀，線上的拉力是F₀，加快后的角速度為ω，線斷時(shí)的拉力是F₁，則有：
F₁：F₀=ω²：ω₀²=9：1，
又F₁=F₀+40N，
所以F₀=5N，線斷時(shí)有：F₁=45N．
（2）設(shè)線斷時(shí)小球的線速度大小為v，由F₁=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)得：v=5m/s．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s，
則落地點(diǎn)離桌面的水平距離為：x=vt=5×0.4=2m．
答：（1）線斷裂的瞬間，線的拉力為45N；
（2）這時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的線速度為5m/s；
（3）落地點(diǎn)離桌面的水平距離為2m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是確定向心力的來(lái)源，平拋運(yùn)動(dòng)采用運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行處理，難度適中．