Question

4．如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，運(yùn)動一周后通過動摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開乙軌道．若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對軌道的壓力都恰好為零，求：
（1）小球通過C點(diǎn)和D的速度大�。�
（2）水平CD段的長度．

Answer 1

分析 （1）小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對軌道的壓力恰好為零，都由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過圓形軌道最高點(diǎn)時的速率．當(dāng)小球從C到達(dá)甲圓形軌道的最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小球經(jīng)過C點(diǎn)時的速率，同理可求D點(diǎn)速度；
（2）根據(jù)動能定理求解CD的長度

解答 解：（1）設(shè)小球通過C點(diǎn)時的速度為v_C，通過甲軌道最高點(diǎn)的速度為v₁，
根據(jù)小球?qū)�軌道壓力為零�?
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$…①
取軌道最低點(diǎn)所在水平面為參考平面，
由機(jī)械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$…②
聯(lián)立①②式，可得${v}_{C}=\sqrt{5gR}$
同理可得小球通過D點(diǎn)時的速度${v}_{D}=\sqrt{5gr}$
（2）設(shè)CD段的長度為l，對小球通過CD
段的過程，由動能定理有
$-μmgl=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：
$l=\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）小球通過C點(diǎn)和D的速度大小分別為$\sqrt{5gR}$和$\sqrt{5gr}$．
（2）水平CD段的長度為$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

點(diǎn)評 本題是向心力、機(jī)械能守恒定律、動能定理的綜合應(yīng)用．在豎直平面內(nèi)，小球沿光滑圓軌道的運(yùn)動模型與輕繩拴的球的運(yùn)動模型相似，難度適中．