Question

20．某恒星的半徑為R，現(xiàn)有一顆行星在距恒星表面高為h的圓形軌道上繞其運(yùn)動(dòng)，并測(cè)出了運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，則行星的線速度為$\frac{2π（R+h）}{T}$，恒星的質(zhì)量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，恒星的密度為$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$．

Answer 1

分析 行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由此列式分析討論即可．

解答 解：行星的軌道半徑r=R+h
行星的線速度$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π（R+h）}{T}$
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
恒星的密度為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
故答案為：$\frac{2π（R+h）}{T}$，$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力展開(kāi)討論，要知道已知旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期，可求得中心天體的質(zhì)量．