Question

14．我國的月球探測計劃“嫦娥工程”分為“繞、落、回”三步．“嫦娥三號”的任務是“落”．  2013年12月2日，“嫦娥三號”發(fā)射，經過中途軌道修正和近月制動之后，“嫦娥三號”探測器進入繞月的圓形軌道I．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進入遠月點P、近月點Q的橢圓形軌道Ⅱ，如圖所示． 2013年12月14日，“嫦娥三號”探測器在Q點附近制動，由大功率發(fā)動機減速，以拋物線路徑下降到距月面100米高處進行30s懸停避障，之后再緩慢豎直下降到距月面高度僅為數(shù)米處，為避免激起更多月塵，關閉發(fā)動機，做自由落體運動，落到月球表面．
已知引力常量為G，月球的質量為M，月球的半徑為R，“嫦娥三號”在軌道I上運動時的質量為m，P、Q點距月球表面的高度分別為h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大��；
（2）已知“嫦娥三號”與月心的距離為r時，引力勢能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$（取無窮遠處引力勢能為零），其中m為此時“嫦娥三號”的質量．若“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，動能和引力勢能相互轉化，它們的總量保持不變．已知“嫦娥三號”經過Q點的速度大小為v，請根據(jù)能量守恒定律求它經過P點時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三號”在軌道I上運動的過程是勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，只有重力最高，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求解即可．

解答 解：（1）“嫦娥三號”在軌道I上運動的過程中，萬有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v_1^2}{{R+{h_1}}}$
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，由機械能守恒定律：
$-\frac{GMm′}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m′{v_P}{′^2}=-\frac{GMm′}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m′{v^2}$
解得：${v_P}′=\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$；
（2）“嫦娥三號”經過P點時的速度大小為$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$．

點評 本題關鍵是明確衛(wèi)星的動力學特點和運動學規(guī)律，根據(jù)牛頓第二定律和機械能守恒定律列式求解即可．