Question

11．如圖所示，一質量M=2.0kg的長木板靜止放在光滑水平面上，在木板的右端放一質量m=1.0kg可看作質點的小物塊，小物塊與木板間的動摩擦因數為μ=0.2．用恒力F向右拉動木板使木板在水平面上做勻加速直線運動，經過t=1.0s后撤去該恒力，此時小物塊恰好運動到距木板右端l=1.0m處．在此后的運動中小物塊沒有從木板上掉下來．求：

（1）小物塊在加速過程中受到的摩擦力的大小和方向；
（2）作用于木板的恒力F的大小；
（3）木板的長度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）長木板受水平向右的恒力作用做勻加速直線運動，小物塊有相對木板向左滑動，故小物塊受的摩擦力方向向右，大小根據f=μF_N計算；
（2）長木板和小物塊都向右做勻加速直線運動，分別算出兩者的加速度，根據它們的位移差是個定值列方程即可求解；
（3）撤去恒力后，木板與小物塊組成的系統(tǒng)動量守恒，當小物塊與木板相對靜止時，小物塊沒有從木板上掉下來，以后就以相同的速度一起勻速運動，不會掉下來了，此時分別對木板和小物塊用動能定理，即可求得最短長度．

解答 解：（1）設小物塊受到的摩擦力為：f=μN₁=μmg0.2×1.0×10N=2N     方向水平向右．
（2）設小物塊的加速度為a₁，木板在恒力F作用下做勻加速直線運動時的加速度為a₂，此過程中小物塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，則由牛頓第二定律及運動規(guī)律可知：f=ma₁a₁=2.0m/s
s₁=$\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
s₂=$\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$
s₂-s₁=l
代入數值得：a₂=4.0m/s²
對木板進行受力分析，如圖所示，

根據牛頓第二定律：F-f’=Ma₂
則：F=f’+ma₂，
代入數值解得：F=10N．
（3）設撤去F時小物塊和木板的速度分別為v₁和v₂，撤去F后，木板與小物塊組成的系統(tǒng)動量守恒，當小物塊與木板相對靜止時，它們具有共同速度v，
$\begin{array}{l}{v_1}={a_1}t=2.0m/s\\{v_2}={a_2}t=4.0m/s\end{array}$
根據動量守恒定律得：mv₁+Mv₂=（m+M）v 
解得：v=$\frac{1.0×2+2.0×4.0}{1.0+2.0}m/s=\frac{10}{3}$m/s

對小物塊：根據動能定理：fs=$\frac{1}{2}mV_共^2-\frac{1}{2}$mv₁²
對木板：根據動能定理：-f（s+l'）=$\frac{1}{2}MV_共^2-\frac{1}{2}$Mv₂²
代入數據：l'=$\frac{2}{3}$m
所以木板的長度至少為：L=l+l′=$\frac{5}{3}$m≈1.7m
答：（1）小物塊在加速過程中受到的摩擦力的大小為2N，方向水平向右；
（2）作用于木板的恒力F的大小為10N；
（3）木板的長度至少是1.7m．

點評 該題涉及到相對運動的過程，要認真分析物體的受力情況和運動情況，并能熟練地運用勻變速直線運動的公式，注意動量守恒的條件，選擇恰當的過程運用動能定理解題，本題難度較大．