Question

7．如圖所示，截面為直角三角形的斜面體固定在水平地面上，兩斜光滑，斜面傾角分別為60°和30°，一條不可伸長的輕繩跨過固定在斜面頂端的光滑定滑輪連接著兩個(gè)小物體，已知物體B的質(zhì)量為m，起始A、B兩物體距地面的高度均為$\sqrt{3}$h，重力加速度為g．
（1）若A的質(zhì)量也為m，由靜止同時(shí)釋放兩物體，求當(dāng)A剛到地面時(shí)的速度大��；（答案可以帶根號表示）
（2）若斜面體不固定，當(dāng)斜面體在外力作用下以大小為a的加速度水平向右做勻變速直線運(yùn)動時(shí)，要使A、B兩物體相對斜面都不動，求：
①物體A的質(zhì)量m_A應(yīng)該滿足的條件；
②加速度a應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）同時(shí)釋放兩物體，由于斜面光滑，兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解A剛到地面時(shí)的速度大�。�
（2）要使A、B兩物體相對斜面都不動，加速度相同，斜面可能向右做勻加速運(yùn)動，也可能向右做勻減速運(yùn)動，分兩種情況，分別對A、B兩個(gè)物體，運(yùn)用牛頓第二定律列式，即可解答

解答 解：（1）設(shè)A剛落地時(shí)的速度為v，
設(shè)繩子的拉力為T
對A：mgsin60°-T=ma（1）
對B：T-mgsin30°=ma（2）
（1）+（2）得到：$a=\frac{{（\sqrt{3}-1）}}{4}$
對A由運(yùn)動學(xué)公式：，v²=2ax且x=2h 
得：$v=\sqrt{（\sqrt{3}-1）gh}$
（2）情形A一：當(dāng)斜面體向右做勻加速直線運(yùn)動時(shí)，加速度方向水平向右，沿垂直斜面和平行斜面方向建立坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解
對A物體：$T-{m_A}gsin{60^0}={m_A}acos{60^0}$
對B物體：mgsin30°-T=macos30°
解得：${m_A}=\frac{{mg-\sqrt{3m}a}}{{\sqrt{3}g+a}}$
由等式右側(cè)的分子得，加速度的大小應(yīng)滿足$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越小，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足$0＜{m_A}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$
情形二：當(dāng)斜面體向右做勻減速直線運(yùn)動時(shí)，加速度方向水平向左
對A物體：${m_A}gsin{60^0}-T={m_A}acos{60^0}$
對B物體：T-mgsin30°=macos30°
解得：${m_A}=\frac{{mg+\sqrt{3}ma}}{{\sqrt{3}g-a}}$
由等式右側(cè)的分母得，加速度的大小應(yīng)滿足$0＜a＜\sqrt{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越大，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足${m_A}＞\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$
答：（1）若A的質(zhì)量也為m，由靜止同時(shí)釋放兩物體，求當(dāng)A剛到地面時(shí)的速度大小為$\sqrt{（\sqrt{3}-1）gh}$
（2）①物體A的質(zhì)量m_A應(yīng)該滿足的條件：$0＜{m_A}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$②加速度a應(yīng)該滿足的條件為$0＜a＜\sqrt{3}g$．

點(diǎn)評 對于連接體問題，常常有兩種方法研究：一是機(jī)械能守恒；二是牛頓第二定律．本題采用隔離法由牛頓第二定律解答加速度問題，分析時(shí)要抓住兩個(gè)物體之間的聯(lián)系，比如加速度相同，繩子拉力大小相等．