Question

假若幾年后中國(guó)人乘宇宙飛船探索月球并完成如下實(shí)驗(yàn)：①當(dāng)飛船停留在距月球一定的距離時(shí)，正對(duì)著月球發(fā)出一個(gè)激光脈沖，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后收到反射回來(lái)的信號(hào)，并測(cè)得此刻月球?qū)τ^察者眼睛的視角為θ；②當(dāng)飛船在月球表面著陸后，科研人員在距月球表面h處以初速度v₀水平拋出一個(gè)小球，并測(cè)出落點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為s．已知萬(wàn)有引力常量為G，光速為c，月球的自轉(zhuǎn)影響以及大氣對(duì)物體的阻力均不計(jì)．試根據(jù)以上信息，求：
（1）月球的半徑R；
（2）月球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析：（1）激光在真空中傳播速度為c，由題意，激光脈沖經(jīng)過(guò)時(shí)間t后收到反射回來(lái)的信號(hào)，則飛船到月球表面的距離為d=c?

1

2

t．作出視角示意圖，由數(shù)學(xué)知識(shí)求月球的半徑．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，可列式求得月球表面的重力加速度與月球質(zhì)量的關(guān)系．小球在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)的加速度就等于表面的重力加速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得重力加速度，聯(lián)立即可求得月球的質(zhì)量．

解答：解：（1）設(shè)飛船離月球表面的距離為d，由題意得
      2d=ct
根據(jù)圖示示意圖，由幾何知識(shí)得 R=(d+R)sin

θ

2

解得：R=

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g_月，則
  mg_月=

GMm

R2

得 g月=

GM

R2

小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  h=

1

2

g月t2
  s=v₀t   
聯(lián)立解得：M=

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

答：
（1）月球的半徑R為

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

；
（2）月球的質(zhì)量M為

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何知識(shí)、萬(wàn)有引力和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，對(duì)于常見(jiàn)的拋體運(yùn)動(dòng)與萬(wàn)有引力的綜合題，要抓住它們之間聯(lián)系的紐帶是重力加速度．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，知道月球的半徑和表面的重力加速度即可求得月球的質(zhì)量．