Question

半徑為R的光滑半圓環(huán)形軌道固定在豎直平面內(nèi)，從與半圓環(huán)相吻合的光滑斜軌上高h=3R處，先后釋放A、B兩小球，A球的質(zhì)量為2m，B球的質(zhì)量為m，當A球運動到圓環(huán)最高點時，B球恰好運動到圓環(huán)最低點，如圖所示．求：
（1）此時A、B球的速度大小v_A、v_B；
（2）這時A、B兩球?qū)�圓環(huán)作用力的合力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）A、B球下滑的過程中，都只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律求出速度大小v_A和v_B；
（2）分別以兩球為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對兩球的作用力，再根據(jù)牛頓第三定律求解A、B兩球?qū)�圓環(huán)作用力的合力大小和方向．

解答：解：（1）對A分析：從斜軌最高點到半圓環(huán)形軌道最高點，由機械能守恒得：
2mg（3R-2R）=

1

2

?2m

v

2 A

解得：v_A=

2gR

．
對B分析：從斜軌最高點到半圓環(huán)形軌道最低點，由機械能守恒有：
3mgR=

1

2

m

v

2 B

解得：v_B=

6gR

．
（2）設半圓環(huán)形軌道對A、B的作用力分別為F_NA、F_NB，F(xiàn)_NA方向豎直向下，F(xiàn)_NB方向豎直向上．
根據(jù)牛頓第二定律得：
F_NA+2mg=2m

v 2 A

R

，F(xiàn)_NB-mg=m

v 2 B

R

解得：F_NA=2mg，F(xiàn)_NB=7mg．
根據(jù)牛頓第三定律，A、B兩球?qū)�圓環(huán)的力分別為：F_NA′=2mg，方向豎直向上；F_NB′=7mg，方向豎直向下，所以A、B兩球?qū)�圓環(huán)作用力的合力大小F=5mg，方向豎直向下．
答：
（1）此時A、B球的速度大小分別為

2gR

和

6gR

．
（2）這時A、B兩球?qū)�圓環(huán)作用力的合力大小5mg，方向豎直向下．

點評：本題是向心力和機械能守恒定律的綜合應用，常規(guī)題，速度是它們之間聯(lián)系的紐帶．