Question

19．如圖甲所示，M，N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O、O′且正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時問的變化如圖乙所示（垂直于紙面向里的磁場方向為正方向）．有一群正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場，己知正離子質量為胡，帶電荷量為q正離子在磁場中做勻速圓周 運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T₀，不考慮由于磁場變化而產生的電場的影響，不計離子所受重力．
求：（1）磁感應強度B₀的大��；
（2）若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場所用的時間最短，請畫出其運動軌跡并求出該最短時間；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v₀的可能值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結合圓周運動的周期公式，可求出磁感應強度．
（2）結合題目的要求，做出粒子在磁場中運動的軌跡，結合粒子運動的方向可知，當運動的軌跡是一個周期時，運動的時間最短；
（3）由幾何關系可確定運動半徑與已知長度的關系，由正離子在兩板運動n個周期，從而即可求解．

解答 解：（1）正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力${B}_{0}q{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
做勻速圓周運動的周期，${T}_{0}=\frac{2πR}{{v}_{0}}$  
聯(lián)立兩式得磁感應強度，${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$
（2）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，v₀的方向應如圖所示，
結合粒子運動的方向可知，當運動的軌跡是一個周期時，運動的時間最短，所以：t_m=T₀
（3）兩板之間正離子只運動一個周期，即T₀，則$R=\fracjrgrukt{4}$
兩板之間正離子運動n個周期，即nT₀，則R=$\frachuny1lh{4n}$，
聯(lián)立上式可得，正離子的速度${v}_{0}=\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{πd}{2n{T}_{0}}\;（n=1，2，3…）$
答：（1 ）磁感應強度B₀的大小 ${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場所用的時間最短，畫出其運動軌跡如圖，該最短時間是T₀；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v₀的可能值為$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$（n=1，2，3…）．

點評 考查離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，掌握牛頓第二定律的應用，理解幾何關系的運用，同時注意運動的周期性．