Question

8．如圖所示，兩根光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ間距為L，電阻不計，兩導(dǎo)軌及其構(gòu)成的平面均與水平面成30°角．兩金屬棒ab、cd質(zhì)量分別為m和2m，電阻均為R，用一細(xì)線相連垂直于導(dǎo)軌放置，每棒兩端都與導(dǎo)軌始終有良好接觸，棒ab受到一平行于導(dǎo)軌向上的恒定外力F（未知）作用，使兩棒恰好在導(dǎo)軌上靜止．整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，重力加速度為g．某一時刻，將兩棒間的細(xì)線剪斷，導(dǎo)軌足夠長，求：
（1）細(xì)線剪斷瞬間，金屬棒ab的加速度；
（2）兩棒分別達(dá)到的最大速度是多少；
（3）當(dāng)兩棒達(dá)到最大速度后，經(jīng)過t時間，金屬棒ab產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）對整體分析，求出燒斷細(xì)線前，拉力的大小，燒斷細(xì)線后的瞬間，棒的速度為0，不受安培力；求出合力，根據(jù)牛頓第二定律求出ab棒的加速度．
（2）當(dāng)ab棒和cd棒加速度為零時，速度均達(dá)最大，根據(jù)受力平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律動量守恒定律求出棒能達(dá)到的最大速度．
（3）當(dāng)兩棒達(dá)到最大速度后，電路中的電流值不再變化，由Q=I²Rt即可求出經(jīng)過t時間的過程中金屬棒ab產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）燒斷細(xì)線前拉力設(shè)為F，則F=3mgsinθ．
燒斷細(xì)線的瞬間，對ab棒，設(shè)此時ab棒的速度仍然是0，所受安培力的大小為，由牛頓第二定律得：
F-mgsinθ=ma．
所以：a=2gsinθ
方向沿斜面向上
（2）燒斷細(xì)線后cd棒向下運動；當(dāng)ab棒和cd棒加速度為零時，速度均達(dá)最大，設(shè)此時ab棒和cd棒的速度大小分別為v₁、v₂
由ab棒受力平衡：F-mgsinθ-BId=0
由cd棒受力平衡：2mgsinθ=BId
此時回路中總的電動勢：E=Bd（v₁+v₂）
電路中電流：$I=\frac{E}{2R}$
由動量守恒定律：mv₁-2mv₂=0
由以上各式解得：${v}_{1}=\frac{8mgRsinθ}{3{B}^{2}gmwylu2^{2}}$；${v}_{2}=\frac{4mgRsinθ}{3{B}^{2}ymgqkqd^{2}}$．
（3）當(dāng)兩棒達(dá)到最大速度后，電路中的電流值不再變化，$I=\frac{E}{2R}=\frac{Bd（{v}_{1}+{v}_{2}）}{2R}$
由Q=I²Rt
聯(lián)立得：Q=$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}Rt•si{n}^{2}θ}{{B}^{2}z4m4n71^{2}}$．
答：（1）細(xì)線剪斷瞬間，金屬棒ab的加速度是2gsinθ，方向沿斜面向上；
（2）兩棒達(dá)到的最大速度分別是$\frac{8mgRsinθ}{3{B}^{2}drirpr7^{2}}$和$\frac{4mgRsinθ}{3{B}^{2}o7v7n6t^{2}}$．
（3）當(dāng)兩棒達(dá)到最大速度后，經(jīng)過t時間，金屬棒ab產(chǎn)生的熱量為$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}Rt•si{n}^{2}θ}{{B}^{2}oudiqom^{2}}$．

點評 本題屬于電磁感應(yīng)定律的綜合應(yīng)用，綜合考查了牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律、動量守恒定律，綜合性強，本題的難點是雙桿模型，兩桿切割都產(chǎn)生感應(yīng)電動勢而且兩個電動勢之間的串聯(lián)的關(guān)系．