Question

空間存在垂直于紙面方向的均勻磁場其方向隨時間作周期性變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t變化的圖線如圖（甲）所示．規(guī)定B＞0時，磁場方向垂直紙面向外．現(xiàn)在磁場區(qū)域中建立一與磁場方向垂直的平面直角坐標(biāo)系xoy，如圖（乙）所示．一電量q=5π×10^-7C質(zhì)量m=5×10^-10kg的帶正電粒子，位于原點(diǎn)O處，在t=0時刻以初速度v₀=πm/s沿x軸正方向開始運(yùn)動，不計重力作用，不計磁場變化可能產(chǎn)生的一切其他影響．試求：

（1）帶電粒子的運(yùn)動半徑；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到P（4，4）點(diǎn)的最短時間；
（3）要使帶電粒子過圖中的P點(diǎn)，則磁場的變化周期T為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可求出粒子運(yùn)動軌跡的半徑．
（2）由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的周期公式T=

2πm

qB

可求出粒子的運(yùn)動周期，通過題意找出磁場的變化周期和粒子的運(yùn)動周期的關(guān)系，結(jié)合幾何圖形，可求出粒子到達(dá)P點(diǎn)的最短時間．
（3）結(jié)合第二問的分析，考慮到帶電粒子從O到P運(yùn)動中可完成的周期的重復(fù)性，列式求解即可．

解答：解：
（1）設(shè)粒子運(yùn)動半徑為R，則有
qvB=m

v2

R

 
得：R=

mv

qB

=0.01m
（2）設(shè)點(diǎn)電粒子的運(yùn)動周期為T_粒，則：
T粒=

2πm

qB

=0.02s
 若磁場的變化周期T的

1

2

恰好為帶電粒子運(yùn)動周期T_粒的

1

4

，即它的軌跡為4個

1

4

圓相連接，它的運(yùn)動軌跡如圖所示，此種情況帶點(diǎn)粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)所用的時間最短，設(shè)為t，則：
t=T_粒=0.02s
（3）要使帶電粒子經(jīng)過P點(diǎn)，則磁場變化的周期T和帶電粒子在磁場中的運(yùn)動周期T_粒之間應(yīng)滿足的關(guān)系為：

T

2

=(n+

1

4

)T粒 
即：T=0.04×（n+

1

4

）s          n=0，1，2，3…
答：（1）帶電粒子的運(yùn)動半徑為0.01m；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到P（4，4）點(diǎn)的最短時間為0.02s
（3）要使帶電粒子過圖中的P點(diǎn)，則磁場的變化周期T為0.04×（n+

1

4

）s   n=0，1，2，3…

點(diǎn)評：該題考察了帶電粒子在方向隨時間作周期性變化的磁場中運(yùn)動的問題，此題不但要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強(qiáng)的對物體運(yùn)動的分析能力，該題關(guān)鍵是找出磁場變化的周期和粒子圓周運(yùn)動的周期的關(guān)系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對解決問題有非常大的幫助．