Question

如圖所示，半徑為r₁的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀、方向垂直紙面向里，半徑為r₂的金屬圓環(huán)右側(cè)開口處與右側(cè)電路相連，已知圓環(huán)電阻為R，電阻R₁=R₂=R₃=R，電容器的電容為C，圓環(huán)圓心O與磁場圓心重合．一金屬棒MN與金屬環(huán)接觸良好，不計(jì)棒與導(dǎo)線的電阻，電鍵S₁處于閉合狀態(tài)、電鍵S₂處于斷開狀態(tài)．
（1）若棒MN以速度v₀沿環(huán)向右勻速滑動(dòng)，求棒滑過圓環(huán)直徑的瞬間產(chǎn)生的電動(dòng)勢和流過R₁的電流．
（2）撤去棒MN后，閉合電鍵S₂，調(diào)節(jié)磁場，使磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率△B/△t=k，k為常數(shù)，求電路穩(wěn)定時(shí)電阻R₃在t₀時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）在（2）問情形下，求斷開電鍵S₁后流過電阻R₂的電量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)棒切割磁感線，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，并由歐姆定律，即可求解；
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求出感應(yīng)電流的大小，由楞次定律判斷出感應(yīng)電流的方向．由公式q=It求出通過電阻R₁上的電量q，由焦耳定律求出電阻R₁上產(chǎn)生的熱量．
（3）斷開電鍵S₁前后電容器兩極板上的電壓發(fā)生變化，電容器上電量的變化對于流過電阻R₁和R₂的電量的和．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，則有：ε=2B₀r₁v₀，
MN右側(cè)的電路中，圓環(huán)部分的電阻是圓環(huán)電阻為R的一半（

R

2

），R₁與R₂并聯(lián)的電阻是

R

2

，所以MN右側(cè)的總電阻是：

R

2

+

R

2

+R=2R．
應(yīng)用導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)，所以電路的路端電壓等于電源的電動(dòng)勢．根據(jù)歐姆定律，解得：I=

E

2R

=

B0r1v0

2R

，
由于R₁與R₂相等，所以流過R₁上的電流：I1=

1

2

I=

B0r1v0

4R

（2）由題意可知，0至t時(shí)間內(nèi) 由法拉第電磁感應(yīng)定律有E′=

△

△t

=

△B

△t

S=k?π

r

2 1

由閉合電路歐姆定律有I′=

E′

R+ R 2 +R

=

2kπ r 2 1

5R

電阻R₃在t₀時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱：Q=I′2R?t0=

4k2π2 r 4 1 t0

25R

（3）S₁閉合時(shí)，電容器兩端的電壓等于R₃兩端的電壓，
U3=I′?R=

2kπ r 2 1

5

S₁斷開后，電容器兩端的電壓等于電源的電動(dòng)勢E′，
電容器上電量的改變?yōu)椋?span id="xecijmc" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">△Q=C?△U=C(E′-U3)=

3kπC r 2 1

5R

由于R₁與R₂相等，所以兩個(gè)兩個(gè)電阻上的電量相等，流過R₁上的電量：q=

Q

2

=

3kπC r 2 1

10R

．
答：（1）棒滑過圓環(huán)直徑的瞬間產(chǎn)生的電動(dòng)勢2B₀r₁v₀，流過R₁的電流I1=

B0r1v0

4R

．
（2）電路穩(wěn)定時(shí)電阻R₃在t₀時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=

4k2π2 r 4 1 t0

25R

；
（3）在（2）問情形下，求斷開電鍵S₁后流過電阻R₂的電量q=

3kπC r 2 1

10R

．

點(diǎn)評：本題是法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、焦耳定律的綜合應(yīng)用，應(yīng)用法拉第定律時(shí)要注意s是有效面積，并不等于線圈的面積．