Question

1．如圖（a），長為L的光滑斜面AB與高臺邊緣光滑相接，BC為一豎直墻，將小球從斜面AB的頂端靜止釋放，小球到達斜面底端后恰能無能量損失地從高臺邊緣水平飛出．高臺底部有另一足夠長的斜面CD．調節(jié)斜面AB的傾角α與斜面CD的傾角β，使小球從斜面AB頂端靜止釋放后，恰能垂直擊中斜面CD．不計空氣阻力，重力加速度為g，α、β為銳角．求：

（1）小球在空中飛行時間t（用α、β和L表示）？
（2）某一研究小組取長為L=0.5m的斜面AB進行實驗，實驗中發(fā)現改變斜面AB的傾角α后，為了使從AB頂端靜止釋放的小球還能垂直擊中斜面，只需對應地調整斜面CD的傾角β．多次實驗并記錄每次α與β的數值，由實驗數據得出圖（b）所示擬合直線．請問此坐標系的橫軸表示什么？試求豎直墻BC的高度h（取g=10m/s²）？
（3）在第（2）問中，該研究小組發(fā)現，小球每次垂直打在CD上的落點與豎直墻BC的距離S隨α和β的改變而不同．試求小球在CD上的落點離豎直墻的最大距離S_m？此時傾角α與β各為多大？

Answer 1

分析 （1）對AB過程由動能定理可求得小球的初速度，再由豎直方向的末速度可求得時間；
（2）由平拋運動的規(guī)律可求得對應的函數關系，并由斜率求得高度；
（3）根據（2）中求出的關系，由數學規(guī)律可求得最大距離．

解答 解：（1）對AB段運用動能定理：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgLsinα
解得：v₀=$\sqrt{2gLsinα}$                                        
t=$\frac{{v}_{0}cotβ}{g}$=$\frac{\sqrt{2gLsinα}cotβ}{g}$                              
（2）設小球平拋過程中水平方向和豎直方向的位移分別為x，y
在空中水平距離x=v₀t=2Lsinαcotβ
在空中豎直距離y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}co{t}^{2}β}{2g}$=Lsinαcos²β
由$\frac{h-y}{x}=tanβ$，得
cot²β=$\frac{h}{L}（\frac{1}{sinα}）-2$，
得到關于$\frac{1}{sinα}$與cot²β的關系式，對應圖象橫軸表示，對應圖象橫軸表示$\frac{1}{sinα}$
斜率為$\frac{h}{L}$，由圖象可知斜率為2，故$\frac{h}{L}$=2，h=1m；            
（3）由第（2）問中x=v₀t=sinαcotβ和cot²β=$\frac{h}{L}（\frac{1}{sinα}）-2$，
x=$\sqrt{2sinα-2si{n}^{2}α}$                                    
當sinα=$\frac{1}{2}$時，S_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時α=30°
對應β=arccot$\sqrt{2}$=35.3°   
答：（1）小球的飛行時間為$\frac{\sqrt{2gLsinα}cotβ}{g}$；
（2）此坐標系的橫軸表示$\frac{1}{sinα}$；豎直墻BC的高度h為1m；
（3）小球在CD上的落點離豎直墻的最大距離S_m為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；此時傾角α為30°β為35.3°．

點評 本題考查平拋運動及動能定理的規(guī)律，難點在于數學知識的應用，要注意根據物理規(guī)律結合幾何關系進行分析求解．